高考必会的不等式的证明方法

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1、不等式的证明一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1．作差比较法（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。2．作商比较法（1）应用范围：当要证的式子两端是

2、乘积的形式或幂、指数时常用此法。（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明。（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1已知a，b∈R，且a+b=1.求证：.解析：用作差比较法即（当且仅当时，取等号）例2：已知a,b,m都是正数，并且a0,b-a>0∴即：例3：已知a>b>0,求证：解析：用作商比较法27∵又∵a>b>0,练习：已知a，b∈R+，求证aabb≥ab

3、ba．a2ab2bc2c≥ab+cba+cca+b例4：已知01,∴∴∴练习：证明下列不等式　1.　2.3.4.已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)27作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“可知”，逐步

4、推出“结论”综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有：（1）（2）（3）（4）例5：若a、b、c是不全相等的正数，求证：解析：根据本题的条件及要证明的结论，可用综合法证明。又a,b,c,为不全相等的正数，故有解析：左式含有分母，右式为整式，故应设法化去左式的分母，考虑用综合法。：三、分析法：分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法一般用于综合法难以证明的不等式。27不等

5、式形式复杂，不宜直接由一端过渡到另一端，可作等价变形用分析法证明。例7：若00,∴只要证a+b<2c由题设条件，显然有a+b<2c成立。所以，原不等式成立。解析：直接不好入手，用分析法证明。要证原不等式成立，只需证明w.m∵，即有27例9:设，求证：证明：要证原不等式成立，只需证：∵只需证只需证，只需证∵上式成立∴原不等式在时成立.四、反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ。凡涉

6、及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。例10：已知a>0,b>0,且a+b>2解析：由于题目结论是：至少有一个小于2，情况较复杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法。∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,两式相加可得1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2,这与已知a+b>2矛盾。故假设不成立例11：设0,(1-b)c>,(1-c)a>,则三

7、式相乘：(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a>①又∵00，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0解析：假设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0,c>0五：换元法：在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当

8、的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。它主要有两种换元形式：(1)三角换元法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三