2019高考数学冲刺大题精做8 立体几何：动点与设未知量（理）（学生版）及答案

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1、立体几何：动点与设未知量大题精做二数列大题精做八精选大题[2019·遵义航天中学]如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在．【解析】（1）证明：连接交于点，连接，∵四边形是菱形，∴点为的中点，又∵为的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）∵是菱形，，是的中点，∴，又∵平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．假设棱上存在点，设

2、点坐标为，，则，∴，∴，，设平面的法向量为，则，解得．令，则，得．∵平面，∴平面的法向量，∴，[来源:Zxxk.Com]∵二面角的大小为，[来源:学*科*网]∴，即，解得，或（舍去）∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．模拟精做1．[2019·跃华中学]如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为．（1）若点为上的点，且平面，试确定点的位置；（2）在（1）的条件下，点为线段上的一点且，若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值．[来源:Zxxk.Com]2．[2019·湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线

3、段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．3．[2019·西城44中]如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值．答案与解析1．【答案】（1）为中点；（2）．【解析】（1）设交于点，连结，∵平面，平面平面，∴，又为的中点，∴在中，为中点．（2）连结，由题意得平面，且，∴以为原点，、、所成直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，∴，，，，，则，，，，设平面的法向量，

4、则，令，得平面的一个法向量，设平面的法向量，由，得，，∴，令，得，∵平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，∴，解得．2．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，[来源:学§科§网Z§X§X§K]又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、

5、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，[来源:学科网ZXXK]设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）证明：在平行四边形中，∵，，，∴，∵，分别为，的中点，∴，∴，∵侧面底面，且，∴底面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．（2）证明：∵为的中点，为的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，得平面，又∵，平面，

6、平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．（3）解：∵底面，，∴，，两两垂直，故以，，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，设，则，∴，，易得平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，得，∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，∴，即，∴，解得或（舍去），故．