级数收敛速度正项级数判敛法关系

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1、级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert判别法或Cauchy判别法总有一些级数不能判断其敛散性，如，，其原因在于作为“标尺”的几何级数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度

2、与正项级数判敛法的关系。2.级数收敛速度的定义在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）定义1设正项级数与都收敛，，分别是它们的余式，如果，就称比收敛较慢。定义2设正项级数与都发散，，分别是它们的部分和，如果，就称比发散较慢。定义3设正项级数与都收敛，如果，就称比17/17收敛较慢。定义4设正项级数与都发散，如果，就称比发散较慢。定义5设正项级数与都收敛（发散），并有自然数N,使时，有（），则说比收敛（发散）较慢。3．几种常用判敛法定理1（比较判别法）（1）（2）是两个正项级数，如果当n充

3、分大时，总有不等式成立，则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数（1）发散可推出（2）发散。定理2如果存在自然数N，对一切有（3）则由级数（2）收敛可知级数（1）收敛，而由级数（1）发散可知级数（2）发散。定理3（达朗贝尔比值判别法）17/17若为正项级数，且（4）则当时级数收敛，而当时级数发散。定理4（柯西根值判别法）设为正项级数，且则当时级数收敛，而当时级数发散。定理5（拉贝判别法）设为正项级数，且则当时级数收敛，而当时级数发散。定理6（高斯判别法）对正项级数，如果有（5）式中有界：，则当或者而时级数收敛;当或者而时级数发散。定理7（柯西积分判

4、别法）如果是非负的不增函数，则级数与积分同敛散。以下几个主要的判别法大致可分为三类：第一类是把所论正项级数的项与一个已知其敛散性的正项级数17/17的项加以比较后得到原级数的敛散性，这一类包括定理1、2中的判别法。第二类从形式上看是考察所论正项级数通向或相邻项的量值与变化趋势，其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数（几何级数、P-级数等）加以比较。定理3、4、5、6属于这一类，定理7属于第三类，是通过建立正项级数与无穷积分的联系把问题转化为广义积分的计算与敛散性判定。4．探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因其中达朗贝尔判别法、柯西判

5、别法、拉贝判别法在其形式及证明上有诸多相似，并且都存在着自身的不足，但它们的适用范围却是逐渐扩大的。下面从这三种判别法出发，探究产生缺陷的根本原因。对于正项级数，首先看达朗贝尔判别法的极限形式，当的极限值等于1时达朗贝尔判别法就失效了，对于简单的级数，如也不能用此法来判定，我们就来分析一下产生这种缺陷的根源。通过达朗贝尔判别法和柯西判别法的证明过程，知道这两者实际上是用等比级数来同给定的级数进行比较的。这里主要以达朗贝尔判别法为例（由于柯西判别法简单，其比较级数是）。当时，给定的正项级数的一般项小于某一收敛得等比级数的对应项，其中，是与1之间的某一实数，1

6、7/17，于是判断收敛。由上可知：；而；由此可知比收敛得快。那么，反过来，如果给定的正项级数虽然收敛，但比任何收敛得等比级数收敛的都慢。这时，达朗贝尔判别法及其极限形式对的敛散性判断就无能为力了。例如：.对于任意的等比级数，其中，17/17（）收敛得快。此时，不能用达朗贝尔判别法。其次，若，给定的级数的一般项不趋于0，于是判断发散。可是如果给定的正项级数虽然发散，但一般项趋于0。这时，达朗贝尔判别法对也无能为力。例如：。综上所述，凡是比任何收敛的等比级数收敛的速度都慢的收敛的正项级数，以及一般项趋于0的发散的正项级数，都不能用达朗贝尔判别法及其极限形式来判

7、断其收敛或发散。可见，用达朗贝尔判别法、柯西判别法来判定级数收敛时，都受到几何级数收敛速度的严格限制。再分析拉贝判别法的证明过程，不难发现是用广义调和级数（p>0）来作为比较级数。对于任何及任何，考虑17/17收敛即:可见任何收敛的（）的一般项比任何收敛的（）的一般项在趋于0时要慢得多。此外，对于，广义调和级数虽然发散，但它的一般项却趋于0。如果设、是满足定理2中（3）式的两个收敛级数，由前面定理1、2容易知道，对于任何正项级数，如果用作标准能判定它收敛，那么用作标准时也一定能判定它收敛。但反过来则不一定。5．几项正项级数收敛速度的比较另外我们又知道，正项

8、级数敛散性判别法中著名的比值判别法、拉贝判别法、高斯判别法实际正是