将军饮马系列---最值问题

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1、实用标准“将军饮马”系列最值问题知识回顾1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点，当且仅当三点共线时能取等号．知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样

2、解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若在河流的异侧，直接连接，与的交点即为所求．若在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．文档实用标准海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰是轴对称图形．把一个图形沿

3、着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．文档实用标准当已知条件出现了等腰三角形、角平分

4、线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化常见模型：（1）最小文档实用标准（2）①最小②最大【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线（3）周

5、长最短类型一类型二类型三（4）“过河”最短距离类型一类型二（5）线段和最小文档实用标准（6）在直角坐标系里的运用同步练习【例1】尺规作图，作线段的垂直平分线，作的角平分线．文档实用标准【变式练习】已知：如图，及两点、．求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．【例1】已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．【例2】如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的

6、哪个位置比较合理？【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．文档实用标准【例1】如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．【例2】如图，在内部有点和点，同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；在直线上也取点，使从点到点和点的距离和也最小．证明：．【例3】已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．【例4】已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最小值和最大值．文档实用标准【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如

7、图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点．求（1）的最小值与最大值．（2）的最小值与最大值．【例1】如图，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为，请作出周长最小的．课后练习【习题1】如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小．【习题2】如图，菱形的两条对角线分别长和，点、分别是变、文档实用标准的中点，在对角线求作一点使得的值最小．【习题1】如图，在锐角中，，°，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是____．【习题2】已知⊙的直径为，的度数为°，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，并求

8、的最小值．【习题3】如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）．．．．【习题4】如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．文档实用标准实验与探究：（1）由图观察易知关于直线的