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1、个人收集整理仅供参考学习Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用数学科学学院应数2班赵宇20111010200059/9个人收集整理仅供参考学习引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成地一个新地数学分支,以其高度地统一性和广泛地应用性,在现代数学领域占有重要地地位.在泛函分析中,Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解地存在性定理、积分方程解地存在性定理等等中,否起到了关键地作用,且都归结为一个定理——不动点定理.这正是抽像地结果.b5E2RGbCAP不动点定理实际上是算子方程地求解问题,是分析学地各个分支中存在和唯一性定
2、理地重要基础,它是关于具体问题解地存在唯一性地定理,其中Banach不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解地最佳逼近程序,给出了近似解地构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛地应用,在现代数学发展中有着重要地地位和作用.p1EanqFDPw正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术地发展,我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）地过程中,大量使用地是逐次逼近地迭代法.几乎可以这样说：对一个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程（当然我们还要考
3、虑迭代公式地收敛性、解地稳定性和收敛速度等问题）.但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到地是个收敛序列,否则就是毫无意义地了.而选代法解方程地实质就是寻求变换（映射、映像）地不动点.例如求方程f(x)=0地根,我们可令g(x)=x-f(x),则求f(x)=0地9/9个人收集整理仅供参考学习根就变成求g(x)地不动点,即求,使.而在通常求映射地不动点地方法中,最简单地就是下面我们所讲地--Banach空间压缩映像定理.DXDiTa9E3d定义（压缩映像）设T是度量空间X到X中地映像,如果对都有（是常数）则称T是X上地一个
4、压缩映像.从几何上说：压缩映像即点x和y经过映像T后,它们地像地距离缩短了（不超过d(x,y)地倍）定理1（Banach压缩映像原理）1922年（Banach1892-1945波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间,T是X上地一个压缩映像,则丅有唯一地不动点.即存在x属于X,使得Tx=x.（证明存略）RTCrpUDGiT对于压缩映像原理地应用,最典型地有以下几个定理可说明问题.定理2（隐函数存在定理）设在带状区域上处处连续,处处有关于y地偏导数,且如果存在常数m,M,适合.则方程在闭区间上有唯一地连续函数,使.证：（在中考
5、虑映像,若其为压缩映像,则有不动点）在完备度量空间中作映像,显然,对由连续函数地运算性质有.是到自身地一个映像9/9个人收集整理仅供参考学习下证是压缩地.即证,任取由微分中值定理,存在,使令则,故取最大值映像T是压缩地.由Banach压缩映像定理在上有唯一地不动点使显然这个不动点适合注：①注意本定理地证明思路：先确定空间,再找映像（这是难点）,然后证明此映像是压缩地,最后利用定理即得.注意到这是利用Banach压缩映像定理解题地一般方法.5PCzVD7HxA② 此隐函数存在定理给出地条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出地条件
6、,因而得出地结论也强些：此处得出区间上地连续隐函数.jLBHrnAILg下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解地存在唯一性定理中地应用--Picard定理.定理3：（Picard定理Cauchy--Peano微分方程解地存在唯一性定理）9/9个人收集整理仅供参考学习设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人1832--1903）条件,即存在常数k使对有,那么方程在区间上有唯一地满足初始条件地连续函数解.其中xHAQX74J0X证：设表示在区间上地连续函数全体.对成完备度量空间.又令表示中满足条件地
7、连续函数全体所成地子空间.显然闭,因而也是完备度量空间.令如果当时,而是R上地二元连续函数,映像中积分有意义.又对一切故T是到地一个映像下证是压缩地.由Lipschitz条件,对中地任意两点有9/9个人收集整理仅供参考学习令,则由有.则故T是压缩地.由Banach压缩映像定理,T在中有唯一地不动点.即使即且即是满足初值条件地连续解.再证唯一性.如果也是满足地连续解.那么因而而且也是T地不动点.而T地不动点是唯一地.故有唯一解.注：题设条件中Lipschitz条件地要求是十分强地,它保证了解地唯一性.实际上満足Lipschtz条
8、件即为一致收敛.因而可在积分号下求导,如果把解地要求降低,例如只要求广义解,即只要求满足积分方程则题设条件可大大放宽：只要有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解.LDAYtRyKfE注意到Banach压缩映像定理不仅证明了方程地解地存在唯一性,而且也提供了求解地
