重点全国高中立体几何典型题及解析(五)(~题)

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1、高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题)201.．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径，它是Ｒｔ△中所对的边，其斜边为，即球的半径为，∴；202.正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，，连接，在Rt△中，连结与交于，由Rt△Ｒｔ△，∴，同理可证到另二面的距离也等，矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。∴为四面体外接球与内接球的球心，由△∽△，∴，∴203.在RtΔA

2、BC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后，设∠AEC＝α，聞創沟燴鐺險爱氇谴净。求证：2cosα-cosβ＝-1.解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可证得.204.如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。ＥＤＢＡＥＤＣＢＡ21/21解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2

3、05.已知正三棱柱ABC—的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点，（１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.(1)解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。易知BE＝BC１＝５，DE＝５，BD＝，在△BDE中，∠BED＝，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。ＰＣＢＡ206.已知（如图）：三棱锥P—ABC中，异面直线PA与BC所成的角为，二

4、面角P—BC—A为，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC＝４.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。求：（１）PA的长；（２）三棱柱P—ABC的体积解析：(1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝，茕桢广鳓鯡选块网羈泪。21/21可算出PD＝８，AD＝５，∴PA＝７;(2)Ｖ＝207.如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，ACF的面积为72，求BDE的面积。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解析：求B

5、DE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。（提示：①ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则ABC的面积S＝absinθ,②sinα=sin(180°-α)籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。PCAFDBEQβα图2－33解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC=sin∠EBD.由AF∥BE，得，∴BE＝AF由BD//AC，得：，∴BD＝AC又∵ACF的面积为72，即AF·AC·sin∠FAC＝

6、72，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。∴＝BE·BD·sin∠EBD　　　　＝·AF·AC·sin∠FAC　　　　＝·AF·AC·sin∠FAC＝×72＝84∴BDE的面积为84平方单位。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。208.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题，①②③④⑤⑥其中正确的命题是（　　）A.①②③B.①④⑤C.①④D.①④⑤⑥铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解析：首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。解答:①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。21/21④

7、面面平行传递性，⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，故①④正确∴应选C。209.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为α，AC与BC1所成的角为β，A1C1与CD1所成的角为γ。求证：α＋β＋γ＝π贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。ADCBA1D1C1B1图2－解析：作如图的辅助线则∠AB1C为AB1与A1D所成的角∠AB1C