高中立体几何典型题及解析(九)(~题)

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1、高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)401.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析：设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.402.自二面角内一点分别向

2、两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角α—

3、ED—β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.求证：AB∶AC＝k(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它们为定值.在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：＝＝定值.404.如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有()A.α⊥且l⊥mB.α⊥且m∥βC.m∥

4、β且l⊥mD.α∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥.∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l.∴m⊥l.∴应选A.说明本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a∴D′D＝

5、2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角.在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠

6、AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小为arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH为点A到平面PBC的距离.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距离为a.说明(1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.406.如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABC

7、D为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.(1)求二面角α—l—β的大小；(2)求证：MN⊥AB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°.(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)过N作NF