数值分析试题附标准答案

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1、总分一二三四五班　级学　号姓　名…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………东北大学研究生院考试试卷2011　—2012　学年第　　一　学期课程名称：数值分析(共3页)4.对方程建立Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收敛？若收敛，收敛阶是多少？解：Newton迭代格式为：，由于迭代函数为：，方程根为：，所以，，且所以，此迭代格式收敛，收敛阶是1.5.设，求差商和。解：，6.设是区间上权函数为的二次正交多项式，计算积分.解：一、解答下列各题：（每题5分，共30分）1.设近似值具有5位有效数字，则的相对误

2、差限为多少？解：记，则的相对误差为：即，相对误差限为：.2.问满足什么条件时，矩阵有分解式，并求时的分解式（其中是对角线元素大于零的下三角形矩阵）.解：由于（A对称正定时）所以，当时有分解式，时有：3.解线性方程组的Jacobi迭代法是否收敛，为什么？解：Jacobi迭代矩阵为：,所以，所以，Jacobi迭代法是否收敛.5/5二、解答下列各题：（每题8分，共48分）1.用Gauss-Saidel迭代法求解方程组，如果取初值,试估计迭代10步的误差.解：由于Gauss-Saidel迭代矩阵为：所以，,由于Gauss-Saidel迭代格式为：

3、，所以，，，于是2．给定离散数据xi－1012yi2－113试求形如的拟合曲线。解：由于，所以,，所以，正则方程组为：，所以，，拟合曲线为：3.求满足条件的三次插值多项式的表达式。解：设，则有：，，，解得：，所以，。4．确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.解：令公式对都精确成立，得：,所以，时，公式代数精度最高.又由于公式对不能精确成立，所以，代数精度为1，不是插值型求积公式。5.利用复化Simpson公式计算定积分的近似值，并估计误差。解：由于的4阶导数在上的最大值为：,所以误差为：＝0.00

4、66416．求解初值问题的改进Euler方法是否收敛？为什么？解：由于即，函数连续，且关于变量满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5/5五、（4分）设矩阵是阶方阵，有一个绝对值小于1的特征值，且方程组有唯一解，证明：存在初始向量使迭代格式：产生的序列收敛到.解：由和可得：递推的：设是矩阵属于特征值的特征向量，取，则有：，于是有：所以，，即序列收敛到.三、（9分）说明方程在区间内有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初

5、值都收敛，说明收敛理由和收敛阶。解：记，则,且，而且，，所以，方程在区间内有唯一根。建立迭代格式：由于，迭代函数在区间上满足条件：，所以，此迭代格式对任意初值都收敛。又由于，，所以，此迭代格式1阶收敛。四、（9分）已知求解常微分方程初值问题：的差分公式：求此差分公式的阶。解：由于所以，所以，此差分公式是2阶方法。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………5/55/55/5