2003-2012年考研数学二答案(完整版)

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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题18小题每小题4分共32分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【答案】：(C)X2+X【解析】：lim笃二=oo,所以兀=1为垂直渐近线Z对一1r4-rlim——=1,所以y=l为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选(C)。id(2)【答案】：(C)［解析］：fx)=疋(戶一2)…(e,u-h)+(“一1)—2)…(严‘一/?)］'所以f(0)=(-1)心加，故选(C)o(3)［答案

2、(B)【解析】：由于匕〉0,｛»｝是单调递增的，可知当数列｛»｝有界时，｛»｝收敛，也即lim5n"T8是存在的，此时有liman=lim(slt-)=lim-limsn_｛=0,也即｛a“｝收敛。反之，｛a“｝收敛，｛srl｝却不一定有界，例如令。“=1，显然有｛%｝收敛，但5z/=n是无界的。故数列｛»｝有界是数列｛色｝收敛的充分非必要条件，选(B)。(4)【答案L(D)【解析】：由于当xg(7T927T)时sinxvO,sinxdx<0,也即I2-<0,可知sinxdx=•「3疗.2sinxdx+exs

3、inxdxJ2/r对匚/血皿做变量代换t=X-7T得exsinxclx=jsin(f+;r)df二-「"幺"切sinM=-『”』")sinxdx,故sinx/v=一』®)sinx6庄由于当xwg2兀)时sinx<0,ex-e"x+^<0,可知『仏'sinMr>0,也即厶一人〉。，可知人>人。综上所述有720,"绞刃V0表示函数/(x,y)关于变量兀是单调递增的，关于变oxdy量y是单调递减的。因此，当x}y2时，必有/(x1,>,1)<

4、f(x2,y2),故选D(2)【答案】：(D)【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线y=-sinx将区域分为D,,Z)2,D3,Z)4四部分。由于9,2关于y轴对称，可知在D}JD2上关于兀的奇函数积分为零，故x5ycbcdy=O；又由于q’U关于兀轴对称，可知在QU0上关于y的奇函数为零，故x5ydxdy=0oD3UD4£j,故选(D)o因I)此JjVy_1)加g-Jfdxdy=_J2心［讥心=一兀(3)【答案L(C)-1【解析】：由于

5、(。

6、心，04)

7、=-1可知线性相关。故选(C

8、)。(8)【答案儿(B)<100>'100、【解析】：Q=p110，则Q'l=-110<001Jz,001,故",<100、"00><100、Q00、/QhQ=-110P-'AP110=-1101110=<00b、001丿1001;/<2>、001,1故选(B)o二、填空题：9-14小题，每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】：1【解析将x=0代入原方程可得y=0方程+i=R两端对兀求导，有2x-^=ey^-，将兀=0、y=0代入可得,dxdx所以dy=0叽0再次求导得2_@工

9、=dx1d.x）dx22+e眷’再将*0、心,y=0、dy_dx=0代入可得x=0d2ydx2=1。x=0（io）［答案L£4【解析】：原式=limly_1宀n台14-/•、2Ir>dx=arctanxJ01+/i兀0_7（ID（答案】：0.【解析】：因为主=厂丄Wdxx'dy'所以普+b学=o・oxdy2为一阶线性微分方（12）［答案】：x=【解析1：ydx+(兀一3y2)dy=0^>—=3y-—x^>—4-—x=3ydyydyy程,所以加J3y•^('dy+C=丄［J3y2dy+c］=(/+C)^又因为

10、〉，=1时兀=1,解得c=0，故x=y2.2x+l,y”=2代入曲率计算公式，有2V2F=T1+(2兀+1)2整理有（2x+l）2=l,解得兀=0或—1,又x<0,所以兀=一1,这时y=0,故该点坐标为（-1,0）（14）［答案】：-27【解析】：

11、ba*

12、=

13、b

14、

15、a*

16、,其中

17、b

18、=-

19、a

20、=-3,

21、a*

22、=

23、a

24、3_，=9,可知网=-27。三、解答题:15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明.•••证明过程或演算步骤.(15)【解析】:f11兀)1

25、..x-sinxrxtnilt=limlim=1,即a=1Z)肃z)sinx(2)，当兀TO时，由fM-a=/(x)-l=—!-1兀xsinxsinx又因为，当xtO时，x-sinx与丄F等价，故f(x)_a〜丄x，即£=16八6->*>(16)［解析】：/(x,y)=xe2,先求函数的驻点：令o2/：(兀，y)=(i-2=°*>*>f+)Lxye2=0解得驻点为(1,0),(-1,0).又对点(1