2003-2012考研数学二历年真题及答案详解

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1、数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数，其中为正整数,则()(A)(B)(C)(D)(3)设，则数列有界是数列收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设则有()(A)(B)(C)(D)(5)设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是()(A)(B)(C

2、)(D)(6)设区域由曲线围成，则()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为()136数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）(A)(B)(C)(D)(8)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则()(A)(B)(C)(D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设是由方程所确定的隐函数，则.(10).(11)设其中函数可微，则.(12)微分方程满足条件的解为.(13)曲线上曲率为的点的坐标是.(14)设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则.三、解答题：15-23

3、小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数，记，(I)求的值;136数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分10分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I)求的表达式;(II)求曲线的拐点.(20)(本题满分10分)证明,.(

4、21)(本题满分10分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)设，(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)已知，二次型的秩为2，(I)求实数的值；136数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）(II)求正交变换将化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当时，函数与是等价无穷小

5、，则（）（A）（B）（C）（D）（2）设函数在处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）（3）函数的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程的特解形式为（）（A）（B）（C）（D）（5）设函数，均有二阶连续导数，满足，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（）（A），（B），（C），（D），（6）设，，，则，，的大小关系为（）（A）（B）136数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）（C）（D）（7）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵。记，，则=（）（A）（B）（C）（D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。若是方程组

6、的一个基础解系，则的基础解系可为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9）。（10）微分方程满足条件的解为。（11）曲线的弧长。（12）设函数，则。（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分。（14）二次型，则的正惯性指数为。三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知函数，设，试求的取值范围。136数学二历年考研试题及答案详解（2003~2012）（16）（本题满分11分）设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐

7、点。（17）（本题满分9分）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。（18）（本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。（19）（本题满分10分）（I）证明：对任意的正整数，都有成立。（II）设，证明数列收敛。（20）（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从