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1、常见数列公式等差数列1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即-=d,(n≥2,n∈N),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)2.等差数列的通项公式:或=pn+q(p、q是常数))3.有几种方法可以计算公差d①d=-②d=③d=4.等差中项:成等差数列5.等差数列的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N)等差数列前n项和公式6.等差数列的前项和公式(1)(2)(3),当d≠0,是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问
2、题有两种方法:(1)利用:当>0,d<0,前n项和有最大值可由≥0,且≤0,求得n的值当<0,d>0,前n项和有最小值可由≤0,且≥0,求得n的值(2)利用:由二次函数配方法求得最值时n的值等比数列1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)2.等比数列的通项公式:,3.{}成等比数列=q(,q≠0)“≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件4.既是等差又是等比数列的数列
3、:非零常数列.5.等比中项:G为a与b的等比中项.即G=±(a,b同号).6.性质:若m+n=p+q,7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法8.等比数列的增减性:当q>1,>0或01,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;等比数列前n项和等比数列的前n项和公式:∴当时,①或② 当q=1时,当已知,q,n时用公式①;当已知,q,时,用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定
4、义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.例1.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式.解:设数列公差为∵成等比数列,∴,即∵,∴………………………………①∵∴…………②由①②得:,∴点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。例2.已知数列的前项和满足.求数列的通项公式。解:由当时,有……,经验证也满足上式,所以点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合
5、写时一定要合并.三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全国卷I.22)已知数列中,,其中……,求数列的通项公式。P24(styyj)例3.已知数列满足,,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,类型2(1)递推公式为解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全国卷I.15)已
6、知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项P24(styyj)例4.已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,(2).由和确定的递推数列的通项可如下求得:由已知递推式有,,,依次向前代入,得,简记为,这就是叠(迭)代法的基本模式。(1)递推式:解法:只需构造数列,消去带来的差异.例5.设数列:,求.解:设,将代入递推式,得…(1)则,又,故代入(1)得说明:(1)若为的二次式,则可设;(2)本题也可由,()两式相减
7、得转化为求之.例6.已知,,求。解:。类型3递推公式为(其中p,q均为常数,)。解法:把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14)在数列中,若,则该数列的通项P24(styyj)例7.已知数列中,,,求.解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.类型4递推公式为(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q,r均为常数)(2006全国I.22)(本小题满分12分)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;P25(styy
8、j)解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再应用类型3的方法解决。例8.已知数列中,,,求。解:在两边乘以得:令,则,应用例7解法得:所以类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。解法:先把原递推公式转化为其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解。(2006.福建.理.22)(本小题满分14分)已知数列满足(I)求数列的通项公式;P26(s