资源描述：
《浅谈立体几何问题中的两个基本模型在解题中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈立体几何问题中的两个基本模型在解题中的运用南京市第十四中学陈鑫在高三的立体几何复习课教学中，总是发现学生在分析问题过程当中难以找到突破口，于是课下我在思索一个问题：如何“提高课堂效率”、“提高高三复习课的效率”，能让学生在立体几何复习课上所得多一些呢？在做了大量的复习题，对比总结了近两年的高考立体几何解答题的基础上，个人认为大多数的立体几何问题（主要针对解答题）在解决上都将问题放在了两个基本模型中解决，或是放在两个基本模型的变化图形中解决。这就是三棱锥和正方体。一、三棱锥立体几何中的大量问题均以棱锥为背景提出，而其中出现最频繁的莫过于三棱锥。说它出现的频繁主要体现
2、在两点：（1）有很多问题的背景就是三棱锥；（2）以其它棱锥为背景的问题其实都可以化到三棱锥中解决，如：四棱锥，可看成是两个三棱锥拼成的；五棱锥，可分割为三个三棱锥。所以，立体几何中的大量问题最终都是在三棱锥中解决，这样的话有必要让学生对有关三棱锥的常见问题背景有一个了解。而与三棱锥有关的问题大多数又都常由以下几个结论变化而来，下面将——讨论这几个结论的常见用法。（一）结论1:若三棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心（或若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心）。上述结论主要针对线面角的问题，如右图所示。此图之中最值
3、得注意之处在于它蕴涵了线面角的基本图形。而线面角的考查作为高考基本考点，在最近几年的高考试题中屡有出现，例如，今年南京市高考二模调研卷中的立体几何解答题，就有关于线面角的证明，使得不少学生栽了跟头。学生在解答过程中丢分很严重。故告知此结论时，可再次强化线面角的规范书写问题。（二）结论2:若三棱锥的侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。上述结论主要体现利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本方法，如右图所示。此图之中值得注意之处在于它蕴涵了利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本作图，即分
4、解其中一个侧面与底面所成的二面角的图形（右图）。实际求解二面角问题时虽然作二面角的平面角有多种方法,但利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角却是主流方法，故告知此结论时，可再次熟练三垂线定理及其逆定理在求二面角时的应用。如：例1（99年高考题）如图，已知正四棱柱ABCD—ABCD,点F在棱00上,截面EAC//4B,且面E4C与底面力尿?。所成的角为45。，AB=a.（问题略）分析：不论什么问题，我们必须找到面EAC与底面ABCD所成二面角的平面角，即面EAC与面ACD所成二面角的大小，因为ED丄平面DAC,作DO丄AC连E0,则ZEOD=45°o例2已知三棱锥P
5、—ABC中，PA丄平面，ABCZABC二90°且PA二AB二BC二a。（1）求AB与平面PBC所成的角；（2）求点A到平面PBC的距离；（3）求二面角A—PC—B的大小。（三）结论3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。上述结论主要针对线、面之间的垂直问题，如右图所示。线、面之间垂直关系的考查是近几年必考的高考基本考点，要求学生能熟练掌握并灵活应用。此图之中三条侧棱两两垂直，即所谓的“墙角模型”，实际问题中常将这三对垂直关系减少为两对或是一对,且以四棱锥为问题背景出现居多，其实四棱锥中的问题经过分割可化为三棱锥中的问题来解决。如:例3（
6、07南京市一模）四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD,MA〃PB,PB二AB二2MA（1）求证:AC〃平面PMD；⑵求直线BD与平面PCD所成的角的大小；⑶求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小分析：第（2）问运用已知条件中的PB丄平面ABCD,类比结论3中的基本构图，将问题转化到三棱锥P—BCD中就能够顺利的找到问题的突破口。第⑶问在延长PM、BA,使PM、BA交于一点G,构成三棱锥M—ADG,由MA丄平面ADG利用三垂线定理及其逆定理即可作出二面角的平面角。（四）其它高考立体几何题中常有求点到平面距离的问题，解决它的常用方法是等积法，即三棱锥的
7、顶点可在四个点中任意变换而体积不变的性质。例4（07南京市期末调研卷）在五棱锥P—ABODE,PA=AB=AE=2aPB=PE=2"a,BC二DE二a,ZEAB=ZABC=ZDEA=90°（1）求证：PA丄平面ABCDE（2）求二面角A—PD—E的大小（3）求点C到平面PDE的距离。分析：此题的背景虽是五棱锥，但第（1）问由长度关系满足勾股定理可顺利解决,第（2）问添加辅助线延长BC与DE可将底面的五边形化为正方形，证出AD丄CE,从而在三棱锥P—ADE中使得所求二面角的平面角通过三垂线定理或其逆定理得以解决。第（3）问点C到平面PDE的距离可通过等
