电磁学中几个简单问题里的椭圆积分new

《电磁学中几个简单问题里的椭圆积分new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第!#卷第(期大学物理*+,)!#-+)(!""!年(月./0012134567.689:)!""!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!电磁学中几个简单问题里的椭圆积分张之翔（北京大学物理系，北京#""’;#）摘要：电磁学中有些简单问题的解需要用椭圆积分表示，本文给出了%个例子)关键词：电磁学；椭圆积分中图分类号：/((#文献标识码：8文章编号：#"""<";#（!!""!）"(<""!!<"%在电磁学里，有些问题很简单，但由于涉及的数学!!?!="?#)=?#)（!）!!

2、"!!稍为复杂一些，其结果不能用有限项的初等函数表示，在’（#，"，"）点产生的电势为一般教科书上便不提及)这里举几个需要用椭圆积分?!!?#)表示的例子)$（#，"）==（%）(!!"*’!!!"*!均匀圆环电荷的电势式中*=""!>#!$!"#@AB"C+@#)（(）电荷量!均匀分布在半径为"的圆环上，在轴线将式（(）代入式（%）并对#)积分，便得圆环电荷在上离环心为#处产生的电势为’点产生的电势为!$（#）=（#）!!!?#)(!!""!>#!"$（#，"）+!（D）’!!#""""!,#!-!"#@AB"C+@#)很多教科书上都有这个例子%现

3、在考虑它在轴线外任在一般情况下，这个积分是椭圆积分，不能用初等函数一点产生的电势%如图#，以圆环心&为原点，轴线为的有限项表示%下面我们将它化为标准形式，令极轴，取球坐标系%设’（#，"，#）为空间任一点%根据对#)=!>!$（E）称性，知圆环电荷在’点产生的电势$（#，"，#）与’则式（D）便化成点的方位角#无关；因此，为简单起见，取#="%环上(!!.!（"，!，#)）处的电荷元$（#，"）+!#!’!!"-!.!!?$+"!!!",#,!"#@AB"-("#@AB"@AB$!#·(!!!!!""",#,!"#@AB"!.!?$（;）#-!.!"

4、#-/!@AB!$式中!("#@AB"/=F#（’）"!>#!>!"#@AB"因"#$/!@AB!$是$的以!为周期的偶函数，故!G!?$!G!?$图#+!（&）#$!G!"#-/!@AB!$#""#-/!@AB!$收稿日期：!""#$"%$#&；修回日期：!""#$"’$!(作者简介：万方数据张之翔（#&!’—），男，湖北黄梅人，北京大学物理系教授)第+期张之翔：电磁学中几个简单问题里的椭圆积分#*式（!）中的积分叫做第一种全椭圆积分，通常用!表示：单位矢量+将式（&,）和（&4）代入式（&3），便得!"#%!!&##!%"#!!"&%()$#!$

5、$/&$$/&&21#’()#"[%2"/"/"!%!"!$"&#$#’()#!##+!!$(+!.!$##$!"#&·*+&·*·,-$/&"&21#’()#!%!（&!）()$%()$%⋯]（&$）!/#·+#·+·-!.$最后得圆环电荷在&点产生的电势为式（&!）中的积分叫做第二种全椭圆积分，通常用3表)!示：’（(，"）.（&&）#!####!"##$"*/(/#*(’()"##!"!"&21’()!%!"[&2()1#当".$时，&点在轴线上，这时式（&&）便化为式（&）+$##&·*#1+&·*·,#1-()#()#⋯]（#$）!椭

6、圆环电流中心的磁感强度#·+*#·+·-,代入式（&!）便得椭圆环电流/在其中心产生的磁感强一导线环呈椭圆形，其方程为度为,#-#*#/.#.&（&#）!2"$$/3&/（#&）!.当这环中载有电流/时，求/在环中心产生的磁感强当1"$时，椭圆锐化为圆，这时*".，3"!，式（#&）度+如图#，用平面极坐标表示，椭圆方程（&#）可化为#便化为&.&####".01’"/*’()"（&*）(*.$$/（##）!2"&/#*这便是半径为*的圆电流/在圆心产生的磁感强度+"圆环电流的矢势电流/沿半径为*的圆环流动，以圆环心2为原点，轴线为4轴，取坐标系如图

7、*所示+圆环上5处的电流元/%"为/%"./*（2’()%6&,/01’%6&-）%%6（#*）图#令!."/!（&+）#则式（&*）可化为&.&####(*.".’()!/*01’!.&###）’()#"*2（*2.!.*.&0#&&2’()#&21#’()#."*#!.."!（&,）式中0"*#2.#1..（&-）图***为椭圆的偏心率+这电流元在空间任一点&产生的矢势依定义为根据毕奥2萨伐尔定律，这椭圆环电流/在中心2产生的磁感强度为%’.$$/%"（#+）+!7!$$/%"#$$$/%"#$（&3）式中7是5到&的距离+积分便得圆电流/在&点

8、产2"#*"+!#*+!((生的矢势为式中$$/%"%"#$%(#%"&（&4）’%（#,）/+!#7&/为