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1、苏州大学2004年数学分析解答http://www.bossh.net博士家园顾问原创luting51.(20’)22xx-(arctan)（1）求极限lim4x®0(arcsin)x1222xx-2(arctan)xx-(arctan)1+x2解：原式=lim=lim43xx®®00xx42122+-62x2x(1+-xx)2(arctan)1+x2==limlimxx®®004x3(1++x2)12xx25202224(26+x)(1+-xx)28+6x==limlim225223xx®®00(1++xxx)(1220)x(1++xx)(1220)28+
2、6x82=lim==23x®0(1++xx)(1220)123nn-1(2)证明对任意自然数n，方程x+xx+⋯⋯+=1在区间[01]，上总有唯一实根x,并求limxnnn®¥nn-1证明：令f(xx)1=+xx+⋯⋯+-则f(0)=-1<0,f(1)=-nx1³Î0,[01]，因此fx()在[01]，上有零点nn--12又f¢(x)=nx+(n-1)x⋯⋯+2xx+1>Î0,[01]，所以fx()在[01]，上单调nn-1从而f(x)在[01]，上存在唯一的零点，也即方程x+xx+⋯⋯+=1在区间[01]，上总有唯一实根xnnn-1因此x++xx⋯⋯+=1
3、nnnx1n两边令n®+¥,则有lim=1Þ=limxnnn®¥12-x®¥n2.(20')-1-苏州大学2004年数学分析解答http://www.bossh.net博士家园顾问原创luting51证明函数sin在区间（00，+¥>）上不一致连续，但是对于任意a，在x[a,)+¥上一致连续。证明：（1）法一：1111取xx=,=,则limsin=1¹=limsin012ppp+2nnn®¥xx®¥+2np1221从而sin0在区间（，+¥）上不一致连续x111法二：取ed=，则$>0,,取xx==01224ppp+n+2np2111x-xN=<>,取12p
4、p+4n44nnpd11sin-sin1=>e0xx121从而sin0在区间（，+¥）上不一致连续x(2)当xÎ[a,)+¥时">$e0,dd>0,当xx-<时，有12111111sin-sin<-=x-x£-xx12212xxxxxxa121212211取d=aee时，有sin-Î,x(0,)xxsin2tanx2xxppxsin证明：在xÎ(0,)上>0,令f(x)==
5、,显然fx()在(0,)连续xxxx2sin2cos2sinx下证f(x)>12222sinxcosx×xcosx--sinx(2xcosxxxsin)f(x)=¢42xxcos2232222xsinxcosx-2sinxcosx+-xxxsin2sinxxcos2sinxcosx+-xsinxx(1cos)==3232xxcosxxcos2sin(xxcosx-+2sinxcos)xx=32xxcos2p令h(x)=(xcosx-2sinxcosxxx+Î),(0,)22222h¢(x)=cosxxx+2cossinxx-+2cos2sinx+12=+xx
6、cossinxx3sinp=sinx(2xcosx+3sinxx)>Î0,(0,)2所以h(x)单调递增，hx()>=lim(hx)0x®02从而xcosx-2sinxcos0xx+>32p又sinx>0,xcosxx>Î0,(0,)2p所以f¢(x)>0,即fx()在(0,)单调递增22sinx所以f(x)>limfx()==lim12xx®®00xxcos即fx()1>tanxxp从而>Î,x(0,)xxsin2-3-苏州大学2004年数学分析解答http://www.bossh.net博士家园顾问原创luting54.(20')(1)设fx()在[1，
7、+¥）上非负递减，证明n+®¥时nnåf(k)-òf(x)dx有极限L，且0££Lf(1)1k=1111(2)设a=++⋯⋯+-=lnlnnn,2,3⋯⋯n2ln23ln3nnln证明数列{}a收敛。nnn证明：（1）令an=-åf(k)òf()xdx1k=1nnn-1nn-1nk+1则a=f(k)-fx()dx=-f(k)f()xdx³f(k)-f(k)(1k+-k)=>fn()0nååòòååå1kk=1k=1k=1k=1k=1所以a有下界nn+1又a-a=f(n+1)-f(x)dx=f(nf+1)-Î(xx),其中（n,n+1)nn+1òn由于f(x)
8、在[1，+¥）上非负递减，所以f(nf+1)-£(x
