武汉大学2004数学分析new

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1、武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：数学分析科目代码：369一、计算下列各题：1．2.lim(sinxx+-1sin)12nx®¥lim(++...+>),(a1)2nn®¥aaaxxxx+11-++=lim2sin()cos1()-1nx®¥221ana=lim()-=11xx++n2a--1n®¥1aa(1)=lim2sincos1-x®¥2(1)xx++2a=03.4.xsin()t2dt¥ò1lim0åarctan32x®0xk=12k2¥sin()x=lim(L')Hospital法则=åarctan(2kk+1)--arctan(21)

2、2x®03xk=11ppp==-=32445.4812ppp1++++...5！9!13!A()p=48121pppB()p++++...3!7！11!15!pp-3ee-ìppA(x)-=B(xx)sinïA()p4p2íeexx--Þ==pppA(x)+=3Bx()B()peepp--ïî234p6.xy"设：Fx(,y)(=-òxxyzfz)()dz,其中f(z)为可微函数，求Fxy(,)xyyxyF'2(x,y)=(-zfz)()dz+-(xxy)()xfxyyòxy"xx22'F(,xy)=f()+(2x-3y)(fxy)+-xy(1yf)()xyxy2yy3

3、(1)+xn二、设x>0，xn==，(1,2,3...)，证明：limx存在，并求出极限11n+n3+xn®¥n证明：23(1+-xx)3nnx-xx=-=n+1nn33++xxnn(3--3)(x3)nx-=3n+13+xn(1)当x>3,3不难证明xx>>nnn+1(2)当x<3,3不难证明xx<

4、(x)=--fxg()(x)fxg()(b)fagx()()H(a)=-=fag()(b)Hb()根据Rolle中值定理，存在xÎ(,ab),H'(x)=+--=f'()(xgx)f()xg'(x)f'()(xxgb)fag()'()0整理：f()xg'(x)-=-fa()g'(x)f'()(xgb)fg'()()xxÞg'(x)((fx)-f(a))=-f'(xx)((gbg)())Qg'(x)¹0,从而g(x)单调，g(bg)-¹(x)0从而原式成立ìxy,(,xy)¹(0,0)ï22四、讨论fxy(,)=íxy+在（0，0）点的连续性和可微性ïî0,(xy,)=(

5、0,0)解：（1）连续性：ìxy,(xy,)¹(0,0)ï22fxy(,)=íxy+ïî0,(,xy)=(0,0)xyy0£limfx(,yy)==limlim£=lim0(,)xy®(0,0)(,)xy®®®(0,0)xy22(,)xy(0,0)y(,xy)(0,0)+21()+x从而知连续（2）可微性3¶fy=¶x()xyxy2222++3¶fx=¶y()xyxy2222++(,xy)(=kyy,)¶f13=()显然不连续¶xk2+1¶f同样不连续。所以不可微¶y五、计算曲线积分I=Ñòydx++zdyxdzL，其中为圆周：L2222ìxyza++=í(a>0)，L

6、的方向是：从x轴的正方向看过去为逆时针方向。îxyz++=0解：2222ìxyza++=íÞîxyz++=0I=蜒òòydx++zdyxdz=y()-dz-+dyzdy-+()yzdzLL=-Ñò()zydy-+(2yz),'dzL为L在yz平面的投影L'a2=òò-3dydz=-3ppaa()3=-S3222六、计算曲面积分I=òòyzdxdy+zxdydz+xydzdx,,其中S为由：xy+==RzhS（h,R>0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。解：另外可以用Stokes公式做I=òòyzdxdy++zxdydzxydzdxSpha=òòò(yz++x)dx

7、dydz=òòò2(rrcosq++sin)qqzdrddz000Vpphaha=++òdzò22(cosqsin)qdqqòrdròòòzdzddr00000022pha=+ha4¥n2七、证明：åxx(1-)在[0,1]上一致收敛n=1解：e1(1)对"e>"0,取1-