随机干扰下碰撞振动系统的动力学分析

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1、振动与冲击第28卷第9期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVol.28No.92009随机干扰下碰撞振动系统的动力学分析田海勇,刘卫华,赵日旭(兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)摘要:建立一类单自由度含间隙碰撞振动系统的动力学模型。推导了系统Poincaré映射的解析表达式,用数值方法计算了系统的Lyapunov指数谱,讨论了随机干扰对碰撞振动系统的动力学影响。最后结合最大Lyapunov指数,讨论随机非光滑系统的随机分岔。数值研究表明随机非光滑系统同样存在着丰富的倍周期分岔现象,但和确定性系统的倍周期分岔现象存在本质的区别

2、。关键词:碰撞振动系统;随机分岔;Lyapunov指数;随机干扰中图分类号:TH113.1;O322文献标识码:A近年来,国内外学者对确定性非光滑系统的动力提出的算法计算了系统的Lyapunov指数谱,依据Lya2[1～5][6～7]学及混沌控制问题进行了深入研究并取得相punov指数谱分析了随机干扰对碰撞振动系统的动力关成果。然而在现实的工程领域中,系统常常受到随学行为的影响。最后对随机干扰下的碰撞振动系统的机因素的影响。由于实际碰撞振动系统动力学模型的随机分岔进行了研究,通过数值模拟发现此时系统的不精确性及非线性元件的线性化处理,以及外界环境分岔点

3、与未加随机干扰时系统的分岔点不同。随机干扰,弹簧系数、阻尼系数、恢复系数和激振力都1碰撞振动系统的动力学模型和振动微分可能是随机的参数。所以在原系统的基础上附加随机方程干扰来进行动力学分析对今后的工程应用更具有指导意义。图1是一个含间隙的单自由度碰撞振动系统的力近年来,国内外学者对随机非线性系统展开了深学模型。该模型由质量块M、线性弹簧K和线性阻尼入研究,文[8]利用Hertz理论描述接触,得到了高斯白C组成。质量块只作水平方向的运动,并受到简谐激噪声激励的具有间隙的单自由度碰撞振动系统的精确振力Psin(ΩT+τ)的作用,增大激振力的幅值,当质量[9

4、]平稳解。HuangZL,LiuZH,ZhuWQ用拟不可积块M的位移X(T)等于间隙B时,质量块M将与约束哈密顿系统的随机平均法研究了多自由度碰撞振动系A碰撞,质量块M改变速度方向后,又以新的初值运[10]统的随机响应。L.Arnold,W.Kliemann研究了参动,然后再次与约束A碰撞,如此反复。假设力学模型激和外激白噪声对Pitchfork分岔的影响,并对噪声导中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼,碰撞过程中的能量致的跃迁现象的研究进行了评述。C.Meunier,A.D.损失由碰撞恢复系数确定,碰撞持续时间略去不计。[11]Verga研究了白噪声

5、外激的鞍结(saddle-node)分岔和Pitchfork分岔模型,并认为不变测度不能充分地描述分岔情况而Lyapunov指数和有效势能够很好地反映噪声对分岔的影响。文[12]应用广义胞映射图论方法研究了在谐和激励与随机噪声共同作用下的Duffing-vanderPol系统的随机分岔现象。文[13]依据平均最大Lyapunov指数符号的变化,分析了随机相位对非线性系统动力学行为的影响。但目前很少有文献涉及随图1单自由度含间隙的碰撞振动系统的力学模型机干扰下碰撞振动系统动力学行为的研究。由于Lya2punov指数是用来表征系统状态轨道收敛或发散的一在任

6、意连续两次碰撞之间振动系统的运动微分方个特征指数,是刻画混沌的重要指标,本文运用文[14]程为:···x+cx+x=sin(ωt+τ)(x

7、AcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net164振动与冲击2009年第28卷常常受到扰动。由于实际碰撞振动系统动力学模型的位角:不精确性及非线性元件的线性化处理,以及外界环境GG±G2-G2+1τ=arccos12210随机干扰,弹簧系数、阻尼系数、恢复系数和激振力都1+G22可能是随机的参数。所以本文考虑碰撞时的恢复系数把初相位角τ0代入微分方程的解式(3)得到碰撞是随机变化的,以简化实际中的模型。振动系统的周期解的表达式:式中:x(t)

8、=e-ζt[Ccos(ωt)+Csin(ωt)]+1d2dR′=R+ΔRiA1sin(ωt+τ