随机激励下非线性振动系统特性的定性分析

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1、航天器环境工程第27卷第4期462SPACECRAFTENVIRONMENTENGINEERING2010ff?8JJ随机激励下非线性振动系统特性的定性分析孔宪仁，廖俊，杨正贤，徐大富(哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨150086)摘要：求解李雅普诺夫方程，可直接获得平稳随机振动响应协方差矩阵。用等效线性化方法处理非线性系统，通过多次迭代求解李雅普诺夫方程可得到稳定的等效线性系统参数，从而获得一种多自由度非线性系统特性定性分析方法，为实际的非线性动力学系统建模提供了理论依据．对几个实例进行了仿真分析，结果验证了该方法的有效性．关键词：随机振动；随机分析；等效线性化法；非线性频响函数中图

2、分类号：0324文献标识码：A文章编号：1673—1379(2010)04—0462-05DoI：10．39690．issn．1673—1379．2010．04．0120引言结构在随机振动试验时，有时会超出线弹性范围，此时线性模型已经不能满足需要，为正确地研究结构特性，需要建立非线性模型。非线性动力学系统的辨识通常有3个步骤：一是识别非线性的存在；二是判别非线性的性质；三是建立系统的非线性模型进行参数识别。目前判别非线性的存在已经比较成熟，主要有幅值域、频域、时域方法【l】。定性研究包括系统非线性的定位、非线性类型、非线性方程几种，本文集中研究非线性类型这部分。Feldmen研究了时域中应

3、用Hilbea变换判别随机激励下系统非线性类型的方测2】；Stasze应用小波变换、Franco应用Gabor变换研究了系统非线性定性方法【3j；K．Worden[4]等研究了正弦激励下非线性系统频响函数图及奈奎斯特图随外激励量级变化而发生的变形，根据系统分别存在非线性阻尼和非线性刚度时变形的规律不同而由此判断系统中非线性的类别，并给出了非线性定性分析的准则。本文参考文献[4】的准则，旨在给出随机激励下，通过系统频响函数图及奈奎斯特图随外激励量级的变化进行定性分析的方法，并将系统扩展到多自由度上。本文对几种带有非线性因素的系统模型进行了近似求解，并分别画出了它们的等效频响函数图及奈奎斯特图

4、，得到随机激励下系统频响函数随外激励量级的变化规律，从而给出了适用于随机激励的，通过等效频响函数随激励量级变化的趋势来判别系统非线性特性的方法。l解李雅普诺夫方程求随机响应方差对于线性时不变系统可以写成方程‘2】茸=凡+％w，(1)z=C。x3式中：x。为状态向量；w为输入向量；z为输出向量；彳、曰、C为响应维数的常量矩阵；下标s、W、z表示矩阵维数。假设输入为白噪声，则输入的功率谱矩阵为对称正定的常量矩阵眠。。状态变量的稳态协方差矩阵表示为￡(ttl)=瓦，(2)其中墨为协方差矩阵。容易证明式(2)满足李雅普诺夫方程AssXss+xssA0+Bs∥WB。?=o，④其中∥为激励’．’的功率

5、谱矩阵乘以2兀得到的矩阵。对彳。进行特征值分解，则得Ass=EssA5sEs『1，t4’式中：E为特征向量构成的矩阵：以为特征值构收稿日期：2009．11．05：修回日期：2009．12．07基金项目：长江学者和创新团队发展计划(IRT0520)作者简介：孔完仁(196l一)，男，教授，博士生导师，从事航天器航天动力学、航天器热控等研究工作。廖俊(1982一)男，博士研究生，飞行器专业，主要从事结构动力学、航天器结构随机振动研究．E-mail：liaojun404@126．corn．第4期孔宪仁等：随机激励下非线性振动系统特性的定性分析463成的对角线矩阵。经过矩阵推导求得李雅普诺夫方程的

6、解的矩阵形式为K=·瓦[(疋。1瓦W。。T最’)．能l+t'4’)l艮+，(5)式中：J矩阵为合适维数的矩阵元素全为1的矩阵；符号“．／”表示矩阵之间对应元素的相乘运算。得到输出z的均方根(RMS)值为zRMs=√diag(巳瓦乞1)／2。(6)这样仅通过式(5)和式(6)矩阵运算即可以求得所有响应点均方根值(或方差)。对于一般线性结构的动力方程M。n梦n七c。nY‘。+Knnyn=fQ、)n，Q、)可令t=鼢氏=[袅杂]，％训。幔=谢，(8)式中：％"G。、蜀。分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；，为n乘以刀维的单位矩阵；％为元素为零的刀乘以n维矩阵。将式(8)代入式(5)、(6)即可很方

7、便地得到随机激励作用下响应的方差。采用适当C．。矩阵可以获得响应的位移、应力的方差值以及yonmises屈服应力等。令e=【L吃】，可以得到响应位移的方差值。上述过程也可以使用模态叠加方法进行缩减，再采用适当的C，。将方差值从模态坐标返回到原坐标下。将式(7)通过模态变换到模态坐标下[31，则得蛾+2z。‰吒+砬。2‰=M。叫吒1厂(f)。，(9)其中眠肿乙肿玩。、蛾。分别为模态质量、模态阻尼比、固有频率和模态的矩阵。经