2011级高等数学(上)中期考试试题评析new

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1、西南科技大学2011级高等数学（上）中期考试试题评析理学院鲜大权一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)10301(+3x)1(+2x)1．lim=_________。220x→∞1(+4x)10304010301030[(13)(12)]/++xxx(1/xx++3)(1/2)3×2310解．原式==limlim==()。2204022040xx→∞(14++xx)/→∞(1/x4)222．设f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4),则f′(x)=0有且仅有_______个实根。解．显然fxC()∈∩[0,4]D(0,4)，

2、又fffff(0)(=1)(====2)(3)(4)0'则由Rolle定理有：ξ∈−(1ii,)，使得f()0ξ=,i=1,2,3,4。ii''而f()x是四阶多项式,至多只有四个零点，因此fx()0=有且仅有四个实根。32注：由fxx′()=−(4)(5x−24x+−30x8)有''''''''ff(1)−=(0)−410,<−=ff(2)(1)17>−=0,ff(3)(2)−9<−=0,ff(4)(3)10>'由Lagrange中值定理得fx()(0,1)(2,3)在和上单减,在(1,2)(3,4)和上单增，从而fx′()0=有且仅有四个实

3、根。fxfx()和′()的图象分别如图1和图2:图1图223．设　y=sin(1+x),则y′′=________。'2''222解．y=+2cos(1xxy)⇒=+2cos(1xx)−+4sin(1x)。14．设　y=，则其反函数x(y)的导数x′(y)=________。2x2x+exx22dy−−41xe'(2x+e)解．∵==,()xy=−(0)x>。22xx'dx(2x++e)yx()e4x1注：反函数的导数是直接函数的导数的倒数。fafax()−(−)5．设　fx()为可导函数且满足lim=1，则曲线y=fx()在点x→02x((a

4、fa，))处的切线斜率为________。fafax()−−()1faxfa(−−)()1'解．lim==limfa()1=，xx→→0022xx−2'故曲线yfx==()((在点，afa))处的切线斜率为fa()2。二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)11．当时x→0，1(+ax2)3−1与cosx−1是等价的无穷小，则常数a=()3232A、B、C、−D、−232312−22332(1+−ax)12ax(1+ax)22−32解.∵lim=−lim=−limaa(1+x)=−a=1xx→→00cosxx−13sinx→0333⇒=−

5、aC,　　选。∴2⎧axb+>，当x12．已知fx()=⎨　处处可导，则有()2⎩xx，当≤1A、ab==2，−1B、ab=−2,=1C、ab=−=1,2D、ab==12，−解.显然当x≠1时f()x处处可导，要f()x对一切x处处可导，则f()x在x=1必可导。首先由f()x在x=1处连续有：lim()fx=+lim(axbab)=+⎫++⎪xx→→11⎬⇒+=ab1；2lim()fx==limx1=f(1)⎪−−xx→→11⎭''再由f()x在x=1处可导有：fa(1)===f(1)2⇒a=2，∴b=−1，故选(A)。+−[fxf()−+(

6、0)ln(13)]x3．设　lim=4,则f′(0)等于()2x60x4A、3B、4C、1D、3[fxf()−+(0)ln(13)]xfxfx(0+−)(0)3解.lim==lim[]3(0)f′=42xx6600xxx4∴f′(0)=。⇒()D324．设函数yfx=()在点处可导则它在点处的微分是指x,xdy()A、f′()xB、Δf()xC、ΔxD、f′()xxΔ答.选(D).x5．设常数k>0，函数f()lnxx=−+k在,0(+∞)内零点个数为()eA、1B、2C、3D、0'11解：f()xx=−=⇒0驻点=exe'0(<<⇒xefx)

7、>⇒0fx()增⎫⎪⎬⇒=fx()取最大值fek()>0'　减xefx>⇒()0<⇒fx()⎪⎭lnxk1而limfx()=−∞,limfx()=lim[lim(x−+)]=−∞xx→+0→+∞x→+∞x→+∞xex∴∃∈x(0,)e使得fx()0<，且∃xe∈+(,∞)使得fx()0<1122由零点定理知∴∃∈ξ(0,)e和ξ∈(,e+∞)使得ff()()0ξ=ξ=1212又f()x在(0,)e单增，在(,e+∞)单减，∴f()x在(0,)e和(,e+∞)内只有唯一根ξ和ξ,故选B。124参考:(2003,II)讨论曲线y=+4lnxk与y=

8、+4lxnx的交点个数。4解:问题等价于讨论函数f()lnxxx=−+4ln4x−k的零点个数。3'4(lnxx−+1)由f()xf==0⇒()x的驻