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《2010级高等数学(上)中期考试试题评析new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、西南科技大学2010级高等数学（上）中期考试试题评析理学院鲜大权一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)10201(+2x)1(+3x)1．lim=_________.215x→∞1(+6x)10203010201020[(12)(13)]/++xxx(1/xx++2)(1/3)2×335解．原式==limlim==()。2153021515xx→∞(16++xx)/→∞(1/x6)(23)×22．设f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3),则f′(x)=0有且仅有_______个实根.解．显然fx
2、C()∈∩[0,3]D(0,3)，又ffff(0)(=1)(===2)(3)0'则由Rolle定理有：ξ∈(1ii−,)，使得f()0ξ=,1i=,2,3。ii'2而由fx()2(23)(=−−+xxx31)有''''''ffff(3)−(2)=−=(1)(0)8>0,ff(2)−=(1)−4<0'由Lagrange中值定理得fx()(0,1)(2,3)在和上单增,在(1,2)上单减，从而fx′()0=有且仅有三个实根.注：fxfx()和′()的图象分别如图1和图2:1图1图223．设 y=ln(1+x)则
3、y′′=________.22''22x'xx'2(1−)21()−x解．yy=⇒==()y′′=。22222211++xx(x+1)()x+114．设 y=，则其反函数x(y)的导数x′(y)=________.2x4x+exx22dy−−81xe'(4x+e)解．∵==,()xy=−(0)x>。22xx'dx(4x++e)yx()e8xfafax()−(−)5．设 fx()为可导函数且满足lim=−1x→02x则曲线yfx=()在点，(afa())处的切线斜率为________.fafax()−−()1
4、faxfa(−−)()1'解．lim=lim==fa()−1，xx→→0022x−x2'故曲线yfx==()在点，(afa())处的切线斜率为fa()−2。二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)1－x1．当xx→−11时，无穷小量是无穷小量的()12+xA、等价无穷小量；B、同阶但非等价无穷小量；C、高阶无穷小量；D、低阶无穷小量。211－xx+2解.∵lim[/x−=−1]lim=−, 选。∴Bxx→→1112++x12x32x⎧⎪eaxbx(cos+≤sin)，当x02．fx()=⎨ 处处连续
5、，则有：()−x⎪⎩()axbe+>，当x01A、ab=B、2a=−bC、a=D、ab=0，任意b解.显然当x≠0时f()x处处连续，要f()x对一切x处处连续，则f()x在x=0必连续，因此有：2xlimfx()=+limea(cosxbxafsin)==(0)⎫xx→→00−−⎪⎬⇒=⇒abA()。−xlimfx()=+=lim(axbe)b⎪+−xx→→00⎭[fxf()−(0)sin3]x3．设 lim=4,则f′(0)等于()2x60x4A、3B、4C、RD、3[fxf()−(0)sin3]xfx
6、f(0+−)(0)sin3x解.lim=3lim[]3(0)==f′42xx6600xx3x4∴f′(0)=。⇒()D34．设函数yfx=()在点处可导则它在点处的微分是指x,xdy()A、f′()xB、Δf()xC、ΔxD、f′()xxΔ答.选(D).⎧sinxx，，−∞<<05．设 fx()==⎨则fxx()在0处()⎩ ，xx0≤<+∞，A、可导B、连续但不可导C、不连续D、左导不等于右导解：首先∵lim()fxxf=limsin==0,lim()xlimx=0=f(0)−−++xx→→00xx→→0
7、0∴fxx()在=0处连续，3'fhf(0+−)(0)sinh0−⎫f(0)−=lim=lim=1hh→→00−−hh⎪⎪'又⎬⇒=f(0)1⇒()A。f'(0)+=limfhf(0+−)(0)=limh−0=1⎪++hh→→00hh⎪⎭三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)π1．计算极限lim(cosx)x．x→+0−−1s⎛⎞πin2xπ⎜⎟π22sin2x⎜⎟⎝⎠2x−解法1．原式==lim(cosx)2xlim(1sin−xe)=2xx→+00→+ππln(cosx)解法2．原式==lime
8、xp(ln(cosx))exp(lim)xx→+00xx→+ππ−sinx−==exp(lim)e2。2x→+0xxcos1(ππcos1xx−−)π(cosx−1)sinπilimlim−解法3．原式=+−lim(1cosx1)cosxx−1x=eex→+0x=x→+02=e2。x→+02ππ211−−i()−注：∵∼x→0c时１osxx-，∴原式=−lim(1x)x2=e2。2x→+02该解法简捷，基本思想是
