乒乓球赛制的数学分析

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1、万方数据642011年4月中围制造业信息化第40卷第7期乒乓球赛制的数学分析李阳(南京农业大学工学院管理工程系，江苏南京210031)摘要：运用概率论相关知识，以MATLAB软件为平台，从运动员临场竞技能力发挥水平的视角，逐步求出比赛的单回合胜率、单局胜率。然后定量分析比赛的偶然性和激烈性，比较不同赛制对比赛的影响。结果表明，新施行的11分赛制增加了比赛的偶然性，同时也降低了比赛的观赏性和激烈程度。关键词：乒乓球赛制；概率；偶然性；激烈性中图分类号：0211．9文献标识码：A文章编号：1672—1616(2011J07—0064—04自2001年国际乒联改用11分制等新规则。袁华、王

2、磊、丁立威Il-3J等基于定性分析和数理统计的方法，研究得出11分制增大了比赛的偶然性；刘兴祥【4J等基于概率论的工具，构建比赛偶然性模型，定量研究得出11分赛制增大了比赛偶然性。但是，数理统计的方法仅仅验证l1分赛制的偶然性增大，并没有解释现象背后的客观原因，而概率论正好可以解释现象背后的原因。本文建立新的概率模型，分析比赛偶然性。以前学者均将比赛的偶然性和比赛的激烈程度等同起来，认为偶然性加大，比赛越激烈；本文认为比赛的激烈程度与比赛的比分有关，与偶然性无关，并重新定义比赛激烈性，进一步探讨不同赛制下的比赛激烈程度。1符号说明i为乒乓球比赛分制，i=11，21；h用于表示赛制，通

3、常为(2^一1)局h胜，h=2，3，4；P为运动员a在单回合比赛中的胜率，q为运动员b在单回合比赛中的胜率，P+q=l；Af表示“i分制下一局结束时a获胜”这一随机事件；．^(P)为i分制下每比赛一局a获胜的概率，i=11，21；B表示“单场比赛结束a最终获胜”这一随机事件；R表示“竞技水平偶然性发生”这一事件；P(Z)为单场比赛偶然性；E(ct，；)为i分制下比赛的激烈程度。2模型的建立与求解2．1临场发挥能力模型为了简化模型的讨论，在不影响模型有效性的前提下，有理由认为运动员的固有技术水平可以用一个标准化的指标／z衡最。当且仅当／a。>Pb时，运动员a的固有技术水平比运动员b的固

4、有技术水平高。同时，在竞技比赛中还必须考虑各种非技术因素。鉴于上述原因，运动员在比赛中发挥水平的高低不但与多种因素有关，而且这些因素都属于随机变量。精确建模比较困难。根据独立同分布中心极限定理，设运动员在单回合比赛中临场竞技能力为随机变量X，有X～N(／a，口2)，其中Iz表征运动员的固有技术水平(在平均状态下发挥的技术水平)，d表征运动员状态发挥的稳定性(临场水平与固有水平偏离的程度)。2．2单回合概率模型假定运动员a和b的某一回合比赛中，a的临场发挥水平为X，b的临场发挥水平为Y，a在本回合取胜的概率为：P{X>y}。由于在基本假设中不考虑运动员之间的互相干扰，即认为随机变量X。

5、，Xb是独立同分布。因X～N(产，仃2)，Y～N(户，叮2)，即X的概率密度函数为：厂(z)=了}e一铲(1)~／97c盯X，y的联合概率密度为：?f(x,y)=赤e一哥一并(2)a在单回合比赛中的胜率为P：p=Ⅱ赤e一蛩一等捌y㈥收稿日期：2010—05—09作者简介：李阳(1985一)，男，河南驻马店人。南京农业大学工学院本科生，专业为．L业Ij程。万方数据·应用研究·李阳乒乓球赛制的数学分析65b在单回合比赛中的胜率为q=1一P。2．3单局概率模型假设运动员在每个回合比赛的胜率是一定的(即P，q一定)，跟回合开始前的比分和赛场其他因素无关，则可以用古典概率论的方法计算出运动员a

6、和b的单局比赛胜率。用An表示“i分制下打了，z个回合后一局结束而且a获胜”这一随机事件(以≥i)。通过分析可知Af=UAn，于是可得P(A)=∑An。n=i(1)在没有出现双方对战到(i一1)：(i—1)平的情况时，a已经赢得i个球获胜，则该局结束。即当，z=i+k(0≤k≤i一2，因此是不可能出现f：(i—1)的情况)时：An={第(i+纠个球a胜并且前(i+k一1)个球中a胜(i一1)个，b胜了k个}又已知各次交锋彼此独立进行，应用古典概型概率知识可得：。P(An)=掣1P卜1q”哆=c珏l∥q”‘(，z=i+k，k=0，1，2，⋯，i一2，且i∈N。)(2)若出现了双方战成(

7、i一1)：(i一1)平的情况，则双方继续比赛，直至甲比乙多胜2球(2分)时，则该局甲获胜。分析可知，此刻比赛共计打了，1个球，且咒为偶数，，z=2(i—1)+2m，m=1，2，3，⋯，且m∈N。oP(An)=P(前(2i一2)个球中甲乙各胜(i—m-I1)个球)×IIP(第(2(i—1)+2k一1))个球和第七=I(2(i—1)+2k)个球甲乙各胜1个球)×P(第(2(i-t)+2m一1)个球和第(2(i一1)+2m)个球均为甲胜)即：P(An)=Q"-(