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1、第三章扭转与剪切§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图`§3.3薄壁圆筒的扭转纯剪切`§3.4圆轴扭转时的应力与强度条件§3.5圆轴扭转时的变形与刚度条件§3.6非圆截面杆扭转的概念§3.7薄壁杆件的自由扭转§3.8剪切和挤压的实用计算§3.9密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形§3.1扭转的概念和实例一.工程实例主要承受扭转力矩的轴类零件受扭转载荷的构件2机器中的传动轴受扭转载荷的构件3汽车中的转向轴二.受力特点:力偶矩作用面垂直轴线,即作用在横截面内三.受力简图四.变形特点任意两横截面产生相对转动五.主要研究对象以圆轴为主(等直轴,阶梯轴,空心轴)圆轴
2、扭转三维动画实例:§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图一.外力偶矩的计算1.直接给出Me(N•m)(N•m/m)m2.给出功率,转速(kW)P.M=9549(Nm)en(r/min)3.传动机构可根据传动比进行计算二.横截面上的内力截面法求内力：Mex切，取，代，平MeΣMx=0Mx-Me=0MeMMx=MexMx为截面上的扭矩Mx按右手螺旋法：Mx指离截面为正，指向截面为负。三.内力图(扭矩图)Mx如同轴力图一样,将扭矩用图形表示称X扭矩图例3-1已知nPAPBPCPD,作内力图。````(1)计算外力偶矩MeBMeCMeAMeDⅠⅡⅢMeA=9549·PA/n=15
3、91.5N·mⅠⅡⅢMeB=477.5N·mMeC=477.5N·mMeD=636.5N·mMx/N·m636.5Mx(2)Ⅰ=-M采用正向假定内eB=-477.5N·mMx力的方法可省去切Ⅱ=-MeB-MeC=-955N·m477.5Mx取代平的过程Ⅲ=MeD=636.5N·m955x列扭矩方程的简便方法:在正向假定内力的前提下ml左起左起向上方的Me产生正的MxMxml向下方的Me产生负的Mxx右起右起反之Mx(x)=mxMx图特点：1.有Me作用处,Mx图有突变,突变值=Me;2.无力偶作用段,Mx图为水平线;3.有均布力偶作用段,Mx图为斜直线.§3.3薄壁圆
4、筒的扭转`纯剪切一.薄壁筒扭转实验实验观察xdx没变D没变dxMe分析变形xεx=0σx=0dxMeεθ=0σθ=0γγτdx由于取的为薄壁,所以认为内壁与外壁变形相同,τ沿t均布用平衡方程可求得:Mx=∫τ⋅dA⋅rAMxτ=22πrt二.切应力互等定理由微块的平衡条件可知:取出微块τ⋅dy⋅t⋅dx=τ`⋅dx⋅t⋅dy'ττ=τ`dyτt在受力构中取出互相垂dx直的两个平面,要有切应力,必大小相等,方向同时指向或τ指离两个面的交线。这一现象称为切应力互等定理。切应力互等定理口诀相互垂直两平面，有切应力必成对,τ方向垂直于交线，头对头或尾对尾。三.纯剪切当六面体只
5、有四个面上有应力且只有切应力的情况称纯剪切,这种状态称纯剪切状态。τ这是一种非常特殊也非常重要的状态，以后将经常遇到。四.剪切胡克定律ϕMeMeτττPϕγ实验表明：τ≤τPτ∝γτ=Gγ剪切胡克定律G切变模量对各向同性材料可以证EG=明：E,G,μ三者关系:()21+μ§3-4圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：1.圆周线的大小形状以及间距保持不变，仅绕轴线转动。2.小变形条件下，各纵向线仍近似是一条直线，只是倾斜了一个微小角度。3.端部保持为平面.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。二、等直圆杆扭转时横截面上的
6、应力：1.变形几何关系：ρ⋅dϕγ≈tgγ=ρρdx距圆心为ρ任一点处的γ与ρ到圆心的距离ρ成正比。dϕ——扭转角沿长度方向变dx化率。2.物理关系：胡克定律：τ=G⋅γdϕdϕ代入上式得：τ=G⋅γ=G⋅ρ=ρ⋅Gρρdxdxdϕτ=ρGρdx3.静力学关系：dAρMA=∫⋅⋅dτρxAρO2dϕ=∫GAρdAdxdϕ2=∫GA2d令I=∫ρAρpAdAdxdϕMdϕ=xMG=IxpdxGIdxpGI抗扭刚度pdϕMx⋅ρ代入物理关系式τ=ρG得：τ=ρρdxIpM⋅ρxτ=—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。ρIp4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材
7、料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：M—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。xρ—该点到圆心的距离。I—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。pI2dA单位：mm4，m4。=∫ρpA③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I值不同。p对于实心圆截面：dρ2IA=∫ρdpADρOD22=⋅∫ρ2ρπρ⋅⋅d04πD=32对于空心圆截面：dρ2IA=∫ρdpAD22ρ=ρ⋅⋅⋅2dρπρ∫ddD2Oπ44=−(Dd)324πD4d=−(1α)(α=)32D④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量
