数学分析中应用极限定义证题法

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1、万方数据西部大开发·中旬：—型坠!：一一=一：一：：一—=一：：一：一j：一一：：；。：——：：塾兰堡丝量壅堕数学分析中应用极限定义证题法关忠义(秦安县兴国中学，甘肃秦安741600)摘要：要掌握极限的概念和方法，首先，必须掌握极限的“8一旷．“8—6”定义以及要了解数列极限和函数极限的不同之处，在数学中，我们把用极限的定义验证或进行有关证明的方法称为“8—6(M”证题法。文中详细概述了极限的定义以及用极限概念证明题目的步骤及要注意的地方．最后列举出了证题的方法，其中包括直接证法和间接证法。而间接证法又包括了简单法、限制法、二项

2、公式法、分段放大法、以及递推公式法五种。本文所要研究的问题就是以上这些，即通过“8一^r’。“8—6”定义来证明极限，通过典型例题，介绍最基本的用极限定义证明极限的各种方法。关键词：数列极限“g一Ⅳ’的定义；函数极限的“8—6”定义；“8—8(Ⅳ)”证题法；放大缩小法。巾图分类号：G碍27文献标识码：A文章编号：1009—863l(2009)11—0139-_04数学分析是用精确的数学语言和形式逻辑结构表达运动变化过程而形成的一门称之为变量数学的学科。它与高中数学有根本性的不同，特别是要理解和掌握极限理论的“g一6(^D”内容更

3、是困难重重。如何帮助学生过渡极限理论中“e一6(Ⅳ)“证法这一较为困难得基础环节，就是本文尝试的目的。极限概念是数学分析中最为重要的概念，这不仅仅是因为数学分析中的许多重要概念(连续、导数、积分等)都是用极限定义的，而且，由极限概念出发形成的极限理论是数学分析乃至整个分析数学的基础。从极限概念出发产生的极限思想，是掌握极限方法在数学分析学习中的关键，同时对于整个后继课程的学习也具有决定性的意义。要掌握极限的概念和方法，首先必须掌握极限的“￡一Ⅳ”，“￡一6”定义。在数学分析中，把用极限的定义“￡一Ⅳ-’，“8—6”验证或进行有关

4、证明的方法称为“￡一6(Ⅳ)”证题法，它是数学分析中的主要论证方法之一，是数学分析学习的一项基本功，能否灵活运用极限方法，解决数学分析中的有关问题，是学好数学分析的重要标志。在学习极限概念时，应把握住以下几个方面的问题。首先，极限定义中的两个无限(无限增加，无限接近)。从字面看，两个无限似乎不难理解，但追究其实质时又觉得茫然。因此在学习极限时，要通过各种有关实际例子，逐步对无限有个全面正确地认识，这是学好极限的关键；其次，培养辩证逻辑的飞跃式的思维方法。这种思维方法是数学分析思想方法的立足之点。这种科学的思维方法不仅引导人们看到

5、无限过程永无终结，同时它又指导人们飞跃式的看到无限过程的“终结”，最后，应看到无限不能脱离有限存在，没有有限也就没有无限。一、极限的“8一Ⅳ”。“8—8”定义与注释1．1数列极限的“8一Ⅳ”定义数列极限的“8一Ⅳ，’定义是极限理论的重点，学好它对深入理解极限理论的实质具有重要的指导意义，同时也是学习函数极限的“8—6”定义的基础．定义1⋯：设{口。}是任意一个数列，口是某常数，若)}}O，}自然数Ⅳ，使得月>Ⅳ时，有k—十口I<8，则{口。}称收敛于口，也称口为数列{口I}的极限，记作*呷％)4或口——恤(，p”)·有时为方便可

6、简单的写作：舯吼，4}}}}o’}．Ⅳ伯然数)，}刀}Ⅳ}k。)d}}。．定义1的几何意义：对于任意一个以口为中心，￡>0为半径的开区间k～￡，口+e)，总可以在数列中找到某一项，使得其后的所有项，都落在这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{4．}的Ⅳ项。口一e口口+8图1关于数列极限的“8一Ⅳ”定义的注释(1)”’关于8的注释任意小正数的8作用主要是用来刻画数列{口。}中的项口．与口的接近程度。概括地说，8有两个重要的特征：一是它的任意性，即它可以任意选取(只要大于零)，这是￡的本质特征：二是它的相对固定性，虽然可以任意选取

7、给定，但一经给出就相对固定了下来，作为一个固定的数对待．这就是常说的￡的二重性。￡的二重性给我们指出：一个数列逼近它的极限过程，是一个无限变化的过程，且这个过程又要一步一步地来实现，而这一步的变化是有限的，因此说，极限是建立在无限观念上的一个数学概念。8的二重性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证关系，极限也是人们从近似认识精确的一个数学方法。(2)关于Ⅳ的注释腥～个与8有关的自然数，当然与口。及常数口有关。Ⅳ重在其存在性，不在其大小。由于它是8固定后，再去确定的，所以它依赖于8，大体上说，g越小Ⅳ就越大。只要有一个合乎要

8、求的Ⅳ，则任何一个大于Jv的自然数均可充任Jv的角色，Ⅳ的这种任意可大性，使得H>—喊n≥Ⅳ，盯>4(实数)在实质上没有区别。Ⅳ思维作用是指出在n无限变大的过程中，有一个时刻，使其后所有n与之对应的4。都满足不等式h一口l<8，Ⅳ只管后，不管前，对其后的珂，要求