数学分析第三讲：数列极限定义.ppt

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1、数学分析第三讲数列极限定义1.复习了基本的符号、集合的知识。2.复习了函数、反函数、复合函数的定义。复习3.复习了函数的几个性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽极限概念的历史正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积极限概念的历史“一尺之棰，日截其半，万世不竭”极限概念的历史极限概念的历史极限的直观理解定义1(?)：极限就是事物在无限变化之后最终表示的一种稳定的状态的值。注：极限表示的一种变化趋势，

2、并且就是这种变化趋势最终稳定的状态。极限的直观理解例1：证明调和数列极限为0.证：因为此数列在其变化过程中，和0的差距越来越小，可以想象在无穷的时间之后，此数列最终会稳定到0，所以其极限为0.例2：证明1，-1交替的数列极限不存在证明：自行编写。极限的定义在很长的历史时期，人类对于极限的理解大致也就是如上的水平。即便在牛顿发明了微积分的一百多年之中，极限的定义(无穷小)还是存在一些问题。人类真正弄清楚这些事情是在Cauchy、Weierstrass完善了极限理论之后。极限的定义基本理念：极限是一个

3、变化过程。无穷小(极限为0)就是在过程中“要多小有多小”要多小有多小：无论给出多小的数，在此变化过程中，终究会比这个给出的数小。2.正无穷大就是在过程中“要多大有多大”极限的定义无论给出多小的数，在此变化过程中，终究会比这个给出的数小。如果数列没有极限,就说数列是发散的.极限的定义几何解释:其中极限的定义极限的定义注:(重要)这三种情况是极限不存在，也就是发散的特殊情况。数列极限方法：由定义验证极限的存在。给定一数列，要想知道其极限是否存在，存在的话等于多少，这是做不到的。但是，由定义，可以验证一

4、个数列的极限是不是给出的特定的数。数列极限由定义证明数列极限的思路：例：证所以,数列极限证数列极限证：数列极限(放缩法)因为只需要证明存在N，不用找最小的N否的叙述方法数列极限即便证明一个数列的极限不等于某数。不代表此数列极限不存在。由定义可知，若要证明一个数列的极限不存在，必须证明任意的实数都不是此数列的极限。数列极限总结本节课只需掌握2.具体到每一个数列极限的习题，请动笔按照定义练习练习。(书上的例题，课后的习题)证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题