数学分析中应用极限定义证题法61894new

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1、200911西WES部TC大IN开ADE发VEI-·0P中ME教学理论与实数学分析中应用极限定义证题法关忠义(秦安县兴国中学，甘肃秦安741600)摘要：要掌握极限的概念和方法，首先必须掌握极限的“8一Ⅳ，’，“￡一6”定义以及要了解数列极限和函数极限的不同之处，在数学中，我们把用极限的定义验证或进行有关证明的方法称为“￡一(^n”证题法。文中详细概述了极限的定义以及用极限概念证明题目的步骤及要注意的地方．最后列举出了证题的方法，其中包括直接证法和间接证法，而间接证法又包括了简单法、限制法、二项公式法、分

2、段放大法、以及递推公式法五种。本文所要研究的问题就是以上这些，即通过“￡一Ⅳ，’，“s一6”定义来证明极限，通过典型例题，介绍最基本的用极限定义证明极限的各种方法。关键词：数列极限“￡一Jv．’的定义；函数极限的“￡一”定义；“8—8(M”证题法；放大缩小法。中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：1009--8631(2009)11—0139—04数学分析是用精确的数学语言和形式逻辑结构表达运动变化过可以任意选取(只要大于零)，这是8的本质特征；二是它的相对程而形成的一门称之为变量数学的学科。它与高

3、中数学有根本性的固定性，虽然可以任意选取给定，但一经给出就相对固定了下来，不同，特别是要理解和掌握极限理论的“￡一6(M”内容更是困难作为一个固定的数对待．这就是常说的e的二重性。重重。如何帮助学生过渡极限理论中“￡一6(Ⅳ)”证法这一较为困e的二重性给我们指出：一个数列逼近它的极限过程，是一个难得基础环节，就是本文尝试的目的。无限变化的过程，且这个过程又要一步一步地来实现，而这一步的极限概念是数学分析中最为重要的概念，这不仅仅是因为数学变化是有限的，因此说，极限是建立在无限观念上的一个数学概念。分析中的

4、许多重要概念(连续、导数、积分等)都是用极限定义的，￡的二重性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证关系，而且，由极限概念出发形成的极限理论是数学分析乃至整个分析数极限也是人们从近似认识精确的一个数学方法。学的基础。从极限概念出发产生的极限思想，是掌握极限方法在数(2)关于Ⅳ的注释学分析学习中的关键，同时对于整个后继课程的学习也具有决定性Ⅳ是一个与e有关的自然数，当然与a及常数a有关。Ⅳ重在其存的意义。在性，不在其大小。由于它是8固定后，再去确定的，所以它依赖要掌握极限的概念和方法，首先必须掌握极限的

5、“8一N”，于s，大体上说，8越小Ⅳ就越大。只要有一个合乎要求的Ⅳ，则任“￡一”定义。在数学分析中，把用极限的定义“￡一’，“￡一6”何一个大于Ⅳ的自然数均可充任Ⅳ的角色，Ⅳ的这种任意可大性，使验证或进行有关证明的方法称为“s一(N)”证题法，它是数学分得n>N-~n≥Ⅳ，n>A(实数)在实质上没有区别。析中的主要论证方法之一，是数学分析学习的～项基本功，能否灵

6、Ⅳ思维作用是指出在n无限变大的过程中，有一个时刻，使其后活运用极限方法，解决数学分析中的有关问题，是学好数学分析的所有n与之对应的a都满足不等式

7、la一aI<￡，N只管后，不管前，对重要标志。其后的n，要求无一例外地都使la一aJ

8、培养辩证逻辑的飞跃式的思维方法。这种而并非要求存在一个Ⅳ，适合所有￡。思维方法是数学分析思想方法的立足之点。这种科学的思维方法不仅引导人们看到无限过程永无终结，同时它又指导人们飞跃式的看(4)数列极限的定义没有指出如何求数列的极限，但给出了判到无限过程的“终结”，最后，应看到无限不能脱离有限存在，没断一个常数a是否是数列极限的方法，即如果对于任意给定的￡>O，有有限也就没有无限。由lan-al<￡能求出Ⅳ，使它在n>Ⅳ时成立，则常数a就是{4)的极限，一反之对于任意给定的s>O，通过la．-aI<￡，找不

9、到Ⅳ，使得>Ⅳ时，、极限的“￡一N”。“￡一6”定义与注释1．1数列极限的“￡一N”定义则常数a就不是数列{口}的极限。数列极限的“￡一Ⅳ，’定义是极限理论的重点，学好它对深入理1．2函数极限的“8—”定义解极限理论的实质具有重要的指导意义，同时也是学习函数极限的数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在自变量年的变化“￡一”定义的基础．是间断地进行的，且仅以唯一的方式不断增大地变化．但函数不同，定义1l1l：设{口}是任意一个