高阶微分与泰勒公式

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1、万方数据2008年12月第24卷第4期陕西理工学院学报(自然科学版)JournalofShaanxiUniversityofTechnolo日(NaturalScienceEdition)D∞．2008V01．24No．4[文章编号]1673-2944(2008)04-0076一04高阶微分与泰勒公式曹吉利，(陕西理工学院数学系，刘延军陕西汉中723001)[摘要]泰勒公式在数学分析中具有很重要的地位。由一元函数的微分出发，引出一元函数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式，其优点是从微分到泰勒公式，形式统一。举例说明了其应

2、用。【关键词】二阶微分；高阶微分；泰勒公式；近似计算[中图分类号】0175[文献标识码】A在一元函数中微分的概念为[1】：设函数y=fC菇)在点‰的某邻域U(xo)内有定义，当给变量菇在‰处一增量△茹，且当‰+△菇∈U(xo)时，相应地函数有增量Ay=以髫。+△茗)一八‰)，如果其增量可表示为Ay=AAx+0(△茗)，其中A不依赖于△茹，则称函数)，=八髫)在点粕处可微，并称AAx为厂(茗)在点‰处的微分，记作妙I，，叼=AAx·在上述定义下，从理论上可以证明⋯恰有A=厂’(茗。)，即drI，：知=，’(‰)△髫．引入微分的好处之一在于近似计算，即若

3、Ay用妙l，。知作近似，则有Ay=以XO+△茗)-fCXo)*厂’(Xo)△菇，即以菇o+Ax)一．，．(XO)+．厂’(菇o)△菇．若记菇-Xo+△石，那么Ax=石--X。，于是厂(髫)一-f(Xo)+厂’(髫o)(茗-xo)，其几何直观为“以直代曲”。在现行的教材[2】中对于高阶微分的定义均采用一阶微分的微分定义为二阶微分，二阶微分的微分定义为三阶微分，以此类推，于是有d杈菇)=厂“’(菇)dx。．而这种定义既没有揭示其本质，也没有显示其内涵，有不尽意之处，为此引入如下定义。1一元函数的高阶微分与泰勒公式1．1二阶微分的定义定义1设函数，，=厂(

4、菇)在点‰的某邻域U(xo)内有定义，给变量菇在‰处一个增量Ax，且粕+△茗∈U(x。)时，相应地函数有增量Ay=fCXO+Ax)一以粕)，如果其增量可表示为Ay=AAx+暑(△茗)2一o((△菇)2)，●：其中A，B不依赖于△菇，则称函数Y=八茹)在点‰处二阶可微，并称AAx，B(Ax)2为函数，，=爪石)在点‰处的一阶微分、二阶微分。依次分别记作母，d2Y，即dyl，：知=AAx，d2yl，：知=召(△菇)2，收稿日期：2008—06—24作者简介：曹吉利(1956一)，男，陕西省礼泉县人，陕西理工学院教授，主要研究方向为基础数学。万方数据第4明

5、曹吉利，刘延军高阶微分与泰勒公式——__—————●——-———_——————●-——_-—-———●————-—————-———一～可以证明：A可’(‰)，B_-f”(‰)．从而记号d2儿。却=，”(知)(如)2≈厂。(知)如2，与导数是微商的记号一致，并可推广到高阶微分。1．2注记若记髫---xo+△茹，即△茗=善一粕，于是Ay=fix)一只‰)=厂，(‰)(菇一‰)+￡善竽(茗一知)：+。((茗一知)2)，即以茗)=以％)+f'i知)(茗一而)+￡萼掣(茗一‰)：+。((茹一粕)：)，这就是泰勒公式的雏形，将其推广到厅阶泰勒公式有水到渠成之作用

6、。若用A△茗+暑(△茗)2作△y的近似，即，Ay=以‰+△茗)一以‰)。，，(‰)△茗+￡萼竽(△菇)z，其精度大为提高。例1求加确近似值。解：考虑函数)，嗽菇)：拓，最‰：l，A菇：0．02．由于八小南LIl：÷，八小上9斟～。一29，则砸⋯扣02一挣10．02)2⋯击一赤=黼，而用一阶微分的近似值为器，采用二阶微分显然比用一阶微分作为近似要精确得多。另外厂(菇)≈厂(菇。)v，(‰)(菇一‰)+￡鲁盟(x-xo)2，其几何直观为用二次曲线代替复杂曲线之功效。1．3一元函数的尼阶泰勒公式下面给出基于高阶微分形式的n阶泰勒公式。定理1¨1若函数以茁)

7、在点‰处的某邻域u(‰)内有直到珏+1阶的微分。则在该邻域内任意一点菇处有公式州=地)+掣(髫训+掣(茹叫2+．．．+掣∽矿+坐等等型∽∥，这里，0<0<1．此公式称为函数灭菇)在点钿的n阶泰勒公式。利用微分记号，n阶泰勒公式可写成州“㈧b瞥。簪L+．．。+d2f_k丛l‘尘幺菇2In!J，。匈。(n+1)!J，。唧+一(，．两)’这里，d取膏)I，；却--／l髫o)，其中0

8、(自然科学版)第24卷元函数的，l阶微分。定义2设函数：=以茁，，，)在点Mo(so，Yo)的某邻域U(Mo