泰勒公式与应用

《泰勒公式与应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要内容，集中体现了微积分中“逼近法”的思想，在理论分析和实际应用中经常涉及。本文首先阐述了泰勒公式的定义和基本内容，然后在基本概念的基础上举例实证，探讨了泰勒公式在求极限，级数收敛，定积分，近似计算，根的存在性，函数的凹凸性及拐点，行列式计算这几个方面的应用与技巧。通过这几个方面的研究，使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使一些问题得到更好的解答。关键词：泰勒公式；导数；极限；近似计算TaylorFormulaandIt”sApplicationsAbstract:TaylorForm

2、ulaisaveryimportantcontentofmathematicalanalysis,itcanintensivelyembodythesoulof“approximation“ofcalculus,anditisextensivelyappliedinthetheoreticalanalysisandpracticalapplication.Firstly,thispaperstatesthedefinitionandprimarycontentaboutit,thendiscussesitsapplicationsands

3、killsinsomeaspectsbyenumeratingexamplesbasingontheconcept,suchaslimitation,seriesconvergence,definiteintegral,approximatecalculation,existenceofroots,concavityandconvexityoffunction,flecnodeoffunction,determinantcalculation.Throughthestudyoftheaspectsabove,thispaperaimsto

4、formthespecialthoughtsinspecialsituations,andenableustosolvetheproblemmoreefficiently.Keyword:Taylorformula;derivative;limit;approximatelyconsiderations目录1引言……………………………………………………………………………（1）2泰勒公式的基本理论…………………………………………………………（1）2.1泰勒公式的定义…………………………………………………………（1）2.2泰勒公式的类型………

5、…………………………………………………（2）3泰勒公式的应用………………………………………………………………（4）3.1利用泰勒公式判断级数敛散性……………………………………………（4）3.2利用泰勒公式求极限………………………………………………………（5）3.3利用泰勒公式求近似值……………………………………………………（6）3.4利用泰勒公式证明不等式…………………………………………………（7）3.5利用泰勒公式研究函数的性质……………………………………………（8）3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式………………………………（9

6、）4结论……………………………………………………………………………（10）参考文献…………………………………………………………………………（12）泰勒公式及其应用1引言1715年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒公式：当时变称作麦克劳林公式。1772年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数

7、和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具2泰勒公式的基本理论2.1泰勒公式的定义我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点处可导，则有即在点附近，用一次

8、多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数。为此，我们考察任一次多项式逐次求它