泰勒公式应用

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1、目录1引言12泰勒公式及其证明12.1带皮亚诺型余项的泰勒公式12.1.1带皮亚诺型余项的泰勒公式12.1.2带皮亚诺型余项的泰勒公式的证明22.2带拉格朗日型余项的泰勒公式32.2.1带拉格朗日型余项的泰勒公式32.2.2带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明33泰勒公式的应用53.1泰勒公式在求函数极限中的应用53.2泰勒公式在证明题中的应用73.2.1在证明不等式中的应用73.2.2在其他证明题中的应用83.3泰勒公式在近似计算和误差估计中的应用93.4泰勒公式在判断函数极值中的应用103.4.1判断函数的极值103.4.2判

2、断函数拐点103.5泰勒公式在求解函数方程中的应用123.6泰勒公式在求高阶导数在某些点的数值中的应用133.7泰勒公式在判断或证明级数敛散性中的应用143.8泰勒公式在行列式计算中的应用15结束语16参考文献16致谢16泰勒公式的应用数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业2012届冯彩摘要：泰勒公式是数学分析的重要组成部分，利用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式.在一些情况下，如果我们能很好地利用泰勒公式，则可以收到事半功倍的效果.因此掌握好泰勒公式的使用，对于分析研究数学问题，开拓解题思路起着重要的作用.本文将介

3、绍并总结两种带不同余项的泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求函数极值、判断广义积分收敛性等方面的应用.关键词：泰勒公式；不等式；极限；敛散性；行列式中图分类号：O172ApplicationsofTaylor'sFormulaAbstract:Taylor'sformulaisanimportantpartofmathematicalanalysis.Usingit,functionscanberepresentedasthesumofapolynomialandaremainder.Insomecases,ifus

4、edappropriately,itseffectcanbetwicewithonlyhalfeffort.Therefore,itplaysanimportantroletomastertheTaylor'sformulatoanalyzemathematicalproblemandtoopenupthewayforsolvingproblem.ApplicationsoftwokindsofTaylor'sformulawithdifferentremaindersareintroducedandsummarizedinp

5、rovinginequalities,calculatinglimitofthefunction,approximationandextremevalues,judgingconvergenceofgeneralizedintegrals.Keywords:Taylorformula；limit；inequality；convergent-divergentdiscrimination；determinant泰勒公式的应用1引言泰勒公式是数学分析的重要组成部分，利用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式.在一些情况下，如果

6、我们能很好地利用泰勒公式，则可以收到事半功倍的效果.因此掌握好泰勒公式的使用，对于分析研究数学问题，开拓解题思路起着重要的作用.2泰勒公式及其证明泰勒公式有两种形式，一种是带皮亚诺型余项的泰勒公式，一种是带拉格朗日型余项的泰勒公式.2.1带皮亚诺型余项的泰勒公式2.1.1带皮亚诺型余项的泰勒公式设在点具有阶导数，即存在，则存在的某个邻域，对于该邻域内的任一点，有(2.1)这里我们称为皮亚诺（Peano）型余项，（2.1）式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.多项式16称作在处的泰勒多项式.当时，称（2.1）为的马克劳林（Maclau

7、rin）公式.2.1.2带皮亚诺型余项的泰勒公式的证明设令，.这两个函数在内有阶导数.又因为所以当时，应用洛比达法则次，并注意到存在，则有即当时，.即证.162.2带拉格朗日型余项的泰勒公式2.2.1带拉格朗日型余项的泰勒公式若函数在的某邻域内存在直到阶的导数，则对任何，在与之间至少存在一点，使(2.2)这里称作的拉格朗日型余项.（2.2）式称作在点处带拉格朗日型余项的泰勒公式.2.2.2带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明设令，这两个函数在内有直到阶导数.又因为所以，连续运用柯西中值定理次，得16这里或者由于,于是有，或即故即证

8、.163泰勒公式的应用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式，同时泰勒公式又可以将函数转化为其在某点处的导数，因此，泰勒公式是研究复杂数学问题的极其有效的工具，它在求函数极限、证明不等式、求近似值、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数敛散性等方面有着广泛的应用