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《banach空间二阶非线性常微分方程两点边值问题解的存在性及其迭代求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010年2月吉林师范大学学报(自然科学版).1第1期JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2010Banach空间二阶非线性常微分方程两点边值问题解的存在性及其迭代求法陆海霞(宿迁学院教育系,江苏宿迁223800)摘要:在Banach空间中利用增算子不动点的迭代求法定理,研究了含间断项的二阶非线性常微分方程两点边值问题解的存在性及其迭代求法.关键词:增算子;不动点;上下解;单调迭代方法中图分类号:O17791文献标识码:A文章编号:1674
2、3873(2010)010030040引言近年来,非线性常微分方程两点边值问题解的存在性、唯一性、多解性一直是微分方程中人们非常关注的问题,如文[14].本文将在抽象Banach空间中,就非线性项f(t,u)在较弱的连续性条件(按u0范数几乎逐点连续)下,采用上下解方法与增算子不动点定理,讨论二阶非线性常微分方程两点边值问题中的一个特殊的重要情况.令Lu=-(p(t)u(t))+q(t)u(t)0!t!1(1)1其中p(t)∀C[I,E],p(t)>0,q(t)∀C[I,E],q(t)#0,I=[0,1].以下将研究两点
3、边值问题Lu=f(t,u)(2)0u(0)-0u(0)=0,1u(1)+1u(1)=0(3)2222的解的存在性及其迭代求法,其中0#0,0#0,1#0,1#0,0+0>0,1+1>0f:J∃E%E(不假设处处连续),E为实Banach是空间.1预备知识为了讨论问题的方便,以下总假定(E,&∋&)是实Banach空间,I=[0,1].对p#1,令Lp[I,E]=1[5]pp{u:I%E
4、u强可测,且(&u(t)&dt<+)},则Lp[I,E]在范数&u&p=(&u(t)&dt)p下为I(I一Banach空间
5、.令C[I,E]={u:I%E
6、u连续},则C[I,E]在范数&u&c=max&u(t)&下也是t∀I2Banach空间.令C[I,E]={u:I%E
7、u(t)在I上二阶连续可微}.设P是E中的锥,E中半序由P导出.设u0∀P,u0∗,令Eu={x
8、x∀E,且存在!>0,使-!u0!x0!!u0}.若x∀Eu,令&x&u=inf{!
9、!>0,-!u0!x!!u0},则易知Eu为实数域R上的线性赋范空间,000称&x&u为x的u0范数.显然,Pu=P+Eu是Eu中的一个锥,且Pu是Eu中的正规锥([5]).对p000000p#1,则
10、Lp[I,E0]={u:I%E0
11、u强可测,且(&u(t)&udt<+)}在范数&u&p=I0u01p(&u(t)&udt)p下为一线性赋范空间.(I0收稿日期:20091108基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671167),宿迁学院科研基金资助项目(2008KY07)作者简介:陆海霞(1976),女,江苏盐城人,讲师,硕士.研究方向:非线性泛函分析.∋30∋****称P为P的共轭锥,如果P={f∀E
12、f(x)#0,x∀P},其中E为E的共轭空间2称v0(t)∀C[I,E]是问题(2)(3)的下解,如果Lv0!f(
13、t,v0(t)),t∀I(4)0v0(0)-0v0(0)!0,1v0(1)+1v0(1)!02称w0(t)∀C[I,E]是问题(2)(3)的上解,如果Lv0#f(t,v0(t)),t∀I(5)0v0(0)-0v0(0)#0,1v0(1)+1v0(1)#0设v0,w0∀C[I,E],v0!w0,D={u∀C[I,E]
14、v0!u!w0},F:D%Lp[I,E]D1={u∀Lp[I,E]
15、Fv0!u!Fw0},K:D1%C[I,E][6]引理1设P是自反的Banach空间E中的锥,且在Eu中,范数&∋&强于&∋&u.再设
16、00i)F:D%Lp[I,E]是按u0范数几乎逐点连续的增算子;K:D1%C[I,E]为按u0范数逐点连续的增算子;ii)对v0,w0来说,v0!Av0,Aw0!w0成立;iii)F(D)是Lp[I,E]中的有界集;**则A=KF在D中必有最小不动点v(t)和最大不动点w(t),并且对迭代序列vn=Avn-1,wn=Awn-1,n=1,2,3,**来说,{vn(t)}和{wn(t)}分别在I上一致收敛于u(t)和v(t).n注1引理1是将文[6]定理1中的算子A=−KiFi中的n取1,由文[6]中定理1的证明过程可以i=1看出
17、,引理1显然成立.[7]引理2两点边值问题(2)(3)等价于Hammerstein型积分方程1u(t)=(k(t,s)f(s,u(s))ds(6)01其中k(t,s):I∃I%R是Lu=0在边值条件(3)下的Green函数,k(t,
