2003年全国高中数学联赛天津赛区初赛

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1、36中等数学2003年全国高中数学联赛天津赛区初赛　　一、选择题(每小题5分,共30分)bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于.1.已知函数2x+39.已知f(x)=.若y=g(x)的图像与yx-14242f(x)=sinx+4cosx-cosx+4sinx.-1=f(x+1)的图像关于直线y=x对称,则g(3)的则f(x)可化简为().值等于.(A)cos2x(B)sin2x10.若集合A={x

2、-2≤x≤5},B={x

3、m+1≤xx(C)cosx-sinx(D)cos-sin22x≤2m-1},且A∩B=B,则实数m的取值范围是2.已知正数a1,a2,⋯,a7构成等比

4、数列.若前.5项的和为72+6,后5项的和为142+12,则a611.已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0

5、值等于.112(A)(B)(C)(D)1323三、解答题(每小题20分,共60分)4.有20张卡片分别写着数字1,2,⋯,19,20.将解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.22它们放入一个盒中,有4个人从中各抽取一张卡片,13.关于x的不等式a+2a-sinx-2acosx>取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大2的解集是全体实数.求实数a的取值范围.22数字的二人在同一组.若其中二人分别抽到5和14,xy14.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆2+2=则此二人在同一组的概率等于().ab12571(a>b>0)上的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥(A)(B)

6、(C)(D)2515151OB.求线段AB长的最小值.225.设二次函数f(x)=ax+bx+c(其中a、b、c15.已知函数f(x)=x+x-2.为整数),有4个学生计算函数值,甲得到:f(7)=

7、f(x)

8、-f(x)(1)试求函数g(x)=的解析式;-1;乙得到:f(1)=3;丙得到:f(4)=-4;丁得到:2f(2)=4.其中有且仅有1个学生计算错误,则计算(2)若a>0时,直线y=ax+b与曲线y=g(x)错误的学生是().交于三个不同的点,试确定a与b的关系式,并画图(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁表示以a、b为坐标的点(a,b)所在的区域.6.在4到18之间选择两个不

9、同的质数,然后用参考答案它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是().(A)21(B)60(C)119(D)231一、1.A.4222二、填空题(每小题5分,共30分)因为sinx+4cosx=(sinx-2),所以,24227.函数f(x)=log1(x-5x+6)的单调递增区sinx+4cosx=2-sinx.3422间为.同理,cosx+4sinx=2-cosx.228.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为故f(x)=cosx-sinx=cos2x.a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=2.C.2004年第2期37因为a1+a2+a3+a4+a5T

10、+1=232=2×116=4×58=a(1+q+q2+q3+q4)=72+6,不合题意,所以,1T+1=120=(11-1)×(13-1),T=119.a3+a4+a5+a6+a72234二、7.(-∞,2).=a1q(1+q+q+q+q)=142+12,22因为函数f(x)=log1(x-5x+6)的定义域为二式相除,得q=2.322x-5x+6>0,即x<2或x>3.又x-5x+6=又a1,a2,⋯,a7是正数,则q=2.代入上式,25155x--,其递减区间为-∞,,所以,可得a1=2.所以,a6=a1q=8.24223.D.函数f(x)=log1(x-5x+6)的单调递增

11、区间为3过AA1、AE作平面A1AEF与平面BCC1B1交于(-∞,2).EF.设EF与B1C交于点O,连结DO.因为AA1∥平8.2.面BCC1B1,AE∥平面DB1C,所以,设△ABC的内切圆半径为r.因为acosA=AA1∥EF,AE∥DO.bcosB,根据正弦定理,得bsinA=asinB.所以,故四边形AEOD是平行四边形,即AD=EO.sin2A=sin2B.又因为E是BC的中点,所以,O为B1C的中因为A≠B,则A+B=90°.所以,△ABC是直角22211三角形,