数值分析第二讲

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1、第二章线性方程组的直接解法§2.1引言在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解线性方程组.有的问题的数学模型中虽不直接表现为含线性方程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一.线性方程组:a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2(2.1)axaxaxbn11n22nnnn常记为矩阵形式Ax=b(2.2)1结束此时A是一个n×n方阵,x和

2、b是n维列向量.根据线性代数知识若｜A

3、≠0,(2.2)的解存在且唯一.关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法,即经过有限次的算术运算,可以求得(2.1)的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法〔１〕.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯消元法,其它算法都是它的变形和应用.另一类是迭代法,它将(2.1)变形为某种迭代公式,给出初始解x,用迭0代公式得到近似解的序列｛x｝,k=0,1,2,,在一定的条

4、件下x→x*(kk精确解).迭代法显然有一个收敛条件和收敛速度问题.这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍直接法.2结束§2.2高斯(Gauss)消元法高斯消元法是一种古老的方法.我们在中学学过消元法,高斯消元法就是它的标准化的、适合在计算机上自动计算的一种方法.2.2.1高斯消元法的基本思想例1解方程组x12x23x31(2.3)2x17x25x36(2.4)x4x9x3(2.5)123第一步,将(2.3)乘-2加到(2.4)；(2.3)乘-1加到(2.5),

5、得到x12x23x31(2.3)3x2x34(2.6)2x6x4(2.7)233结束第二步,将(2.6)乘-2/3加到(2.7),得到x12x23x31(2.3)3x2x342020(2.6)x3(2.8)33回代:解(2.8)得x,将x代入(2.6)得x,将x,x代入(2.3)33223得x,得到解x*=(2,1,-1)T1容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作行变换,用r表示增广阵［A:b］的第i行:i1231r22r1r

6、21231A:b2756r3r1r30314149302644结束21231r3r2r33031420200033由此看出上述过程是逐次消去未知数的系数,将Ax=b化为等价的三角形方程组,然后回代解之,这就是高斯消元法.2.2.2高斯消元法公式记Ax=b为A(1)x=b(1),A(1)和b(1)的元素记为a(1)和b(1),ijii,j=1,2,,n.第一次消元,目的是消掉第

7、二个方程到第n个方程中的x项,得到A(2)x=b(2),这个过程须假定a(1)≠0.1115结束(1)(1)(1)(1)aaab11121n1a(1)a(1)a(1)b(1)rili1r1riA(1):b(1)21222n2(i2,3,,n)(1)(1)(1)(1)an1an2annbn(1)(1)(1)(1)aaab11121n1(2)(2)(2)0aab222n2A(2):b(2)(2)

8、(2)(2)0an2annbn在［A(1):b(1)］中,红方框中的元素是要化为0的部分；［A(2):b(2)］中,红方框中的元素全部已发生变化,故上标由(1)改(2),计算公式为:6结束(1)ali1(i=2,3,,n)i1(1)a11a(2)a(1)la(1)(i,j=2,3,,n)ijiji11j(2)a0(i=2,3,,n)i1b(2)b(1)lb(1)(i=2,3,,n)iii11第k次消元(1≤k≤n-1)(k)设第k-1次消元已完成,且akk

9、≠0,此时增广矩阵如下:(1)(1)(1)(1)(1)aaaab11121k1n1(2)(2)(2)(2)aaab222k2n2(k)(k)A:b(k)(k)(k)akkaknbk(k)(k)(k)ankannbn7结束本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理,消a(k)(k)掉第k+1个方程到第n个方程中的xk项,即把k1,k到ank化为零.计算公式如下