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《高中数学第二章平面向量22向量的分解与向量的坐标221平面向量基本定理课堂导学案新》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.1平面向量基本定理课堂导学三点剖析一、基底⑴基底的特征:①两个向量，②不共线.（2）就像平面上可选取不同的坐标系一样，同一平面可以有不同的基底.因此，要表示一个向量吋基底不唯一，但是基底给定吋，向量的表示法唯一，即若a=X,ei+X2e2=X1/ei+X2/e2,则且X2=X/.（3）由定理可将任一向量a在给出基底&、e2的条件下进行分解.【例1］下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是
2、（）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一•在同一平面内任何一组不共线的向量都对作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底屮的向量.综上所述，②③正确.答案：B各个击破类题演练1设点0是OABCD两对角线交点，下列向量组:®AD与期；②丽与BC;®AC与反；④而与方.可作为该平面其他向量基底的是（A.①②B.①③D.③④解析:①丽与期不共线;②DA二-BC,D4〃BC,D4与BC共线;③CA与DC不共线;④0D二-OB,OD//OB,OD与共线.由平面向量基底的概念知①③可
3、构成平面内所有向量的棊底.答案:B变式提升1&、s是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是（）A.c和e】+ezB.ei~2e-2和e2_2eiC.e】-2e?和4e>~2e：A.e】+e2和ei~e2解析：V4e2-2ei=-2(ei-2e2),Aei-2e2与4e2-2e)共线,不能作为基底.・••选C.答案:C二、平面向量基本定理及其应用关于定理的说明：(1)eixe2是同一平面内的两个不共线向量；(2)平面内的任一向量都可用e】、e2线性表示，且这种表示是唯一的；(3)对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的
4、不共线向量都可作为基底；(4)当平面内収定一组基底a。、b°后，任一向量m都被a、b°唯一确定，其含义是存在唯一实数对(入1,入2),使m二入瓯+入?bo・若还有m=X/a0+X2Zbo.则必有入i=X/且入2二入2'・【例2】用向量法证明三角形的三条屮线交于一点.思路分析：解决本题有两个关键点:一是由题意证明三线交于一点，需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点，这两点为终点的两向量相等，从而得这两点重合.令AC二a,BC=b为基底，'11则AB二a-b,AD=a-—b,BE—a+b,22设AD与BE交
5、于点Gi,且AG,=入AD,BGX=uBE,则有AG[=Xa-^b,EG〕二-彳a+ub.又有=+=(l-^)a+(u-l)b,2-z.22解得x=,3:.AG.=-~AD,3再设AD与CF交于G2,——►2—-同理求得AG.=-ADf-3・・・G点、G2点重合，即AD、BE、CF交于一点.・・・三角形三条中线交于一点.温馨提示平面向量基本定理是向量法的理论基础，这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线向量“生成”的，或者说,任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示的实质，它不仅提供了向量的儿何表示方法，同时也使向量用坐
6、标來表示成为可能，从而架起了向量的儿何运算与代数运算Z间的桥梁.如我们已经证明过的结论:若A、B是直线1上任意两点,0是1外一点，则对直线1上任一点P,存在实数t,使0P关于基底｛0A,0B｝的分解式为OP=(l-t)OA+tOB(*)并且满足(*)式中点P—定在1上.实际上，向量等式(*)叫做直线1的向量参数方程式，其屮实数t叫做参变数，简称参数.类题演练2已知向量a、b,求作向量3a-2b.方法一：如图，⑴収一点0,作刃二3a,AB=-2b・⑵作△0AB,则亦就是求作的向量.方法二:如图,(1)取一点0,作OA=3a,OC=-2b
7、.(2)作OABC,则03就是求作的向量.(1)温馨提示(1)已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量.(2)本题是平面向量基本定理的简单应用，除可运用平行四边形法则外，还可用向量加法的三角形法则求作向量.变式提升2如图所示，已知梯形ABCD中，AD〃BC,E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD,=a,BC=b,试以a、b为基底分别表示EF、DF和CD.C解：VAD//BC且AD二丄BC,3■1■1•••AD=-BC=-b.33AAE=-丽二丄b.261•
8、又•••BF=-BC、2・•・莎二丄b.2—k—7k1FA=BA-BF二a-—b.2EF=EA+AF=-AE-FA=-—b-(a-—b)=—b-a.623111DF=DE+EF二EA+EF二-AE+EF二-一b+-b-a
