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《实变函数与泛函分析报告基础第三版问题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实用标准文案第七章习题解答1、设为一度量空间，令，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集：，精彩文档实用标准文案为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有，令有。所以（因为闭集）。这就是说，综上所证有：。4、设为度量
2、空间上的距离，证明也是上的距离。证明：首先由为度量空间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有即三角不等式成立。所以也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明：由题2距离的定义：则有：若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。精彩文档实用标准文案反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对每个有，则有：从而对任意的非负实数有：。又由于从
3、而；，于是有：。从而取时于是有。从而点列按题2中距离收敛于。7、设及是度量空间中两个集，如果，证明必有不相交开集及分别包含及。证明：记。，以为半径作点的邻域，令，则是开集且。同理可作开集，使得。余证，如若不然即，则存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。从而有另一方面，，从而有，由于，故得矛盾。因此。9、设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集精彩文档实用标准文案，使，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖。证明：因是可分距离空间，所以在中存在可数稠密子集。因是的一个开覆盖。因此，存在中的开集，使得且是的
4、内点。存在，使，因在中稠密，从而可在上取出中的点，再取有理数，使得（此处的有理数与均有关系）于是，由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。10、设是距离空间，为中的子集，令，证明是上的连续函数。证明：，则由可得同理可得：。因此当即时有。所以在处连续，由在上的任意性得在上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设是度量空间中的中的Cauahy点列，则有。特别取，则对任意的有，则，即点列的直径，从而点列是有界集。其次对于，取，则即是中的有界集。又集，所以有界。设是赋范空间，是中的Cauah
5、y点列点列，则时有，今取，则，使得。，取，则，有。所以点列有界。18、设为完备度量空间，是到中的映射，记，若，则映射有唯一不动点。精彩文档实用标准文案证明：因，由级数收敛之必要条件有，于是对于，，时有。于是时，。从而从后，映射是到的压缩映射。又由于是完备的，所以映射有唯一不动点。第八章习题解答1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.解设是满足收敛的数列全体组成的空间.若.定义如下:对,,则对,.由有界线性算子的定义知,是有界算子,且,,其中,所以.设,则.令,则,故不是闭集.证毕.2.求上线性泛函的范数.解由得.设精彩文档实
6、用标准文案则,且,,因而,故.3.设无穷阵,满足,作到中算子如下:若,,则.证明:.证设,则若,,因此.对,使得.设,其中,则,且.若,则,因此.由于是任意的,故.因而.4.设,在中定义线性算子,其中.证明:是有界线性算子,并且.证设,由于.又对,使得.设,其中,则,而.则.由的任意性,得精彩文档实用标准文案,所以.证毕.5.设是维向量空间,在中取一组基是矩阵,.作到中的算子如下:当时,,其中.若规定向量的范数为.证明上述算子的范数满足.证若,则,所以.对任意的,,于是,所以,.因此.证毕.6.设赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子,若
7、的零空间是闭集,是否一定有界?解答令P,其中P是上多项式函数全体,它是的一个子空间.是P到P的微分算子.若,则是常值函数,而常值函数全体是一个闭子集.而由第一节例9可知,是非有界的.7.作中算子如下:当时,,其中.证明:是有界算子.证若,则,精彩文档实用标准文案所以,为有界算子,且.证毕.8.按范数成赋范空间,问的共轭空间是什么?解记按范数组成的赋范线性空间为,按范数组成的赋范线性空间为.下面证明.定义到的映射,对,其中,对,于是.反之,对,定义:对,则.因此是从到上的映射.(也就是说,是满射)若,则,故;若,令,则.因此,从而.于是是
8、到的同构映射,在同构的意义下,.9.设表示极限为0的实数列全体,按通常的加法和数乘以及,构成Banach空间,证明:.证令,则.对,定义.则有,且.事实上:精彩文档实用标准文案记,则且.,由于,因此,令,因
