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1、关于数列通项公式问题探析摘要：求通项是高考中经常出现的形式，但是这方面的题目形式多变，技巧性较强，导致这一内容成为学生学习数列问题的难点。本文对一些常见的递推数列求通项的方法进行归纳总结，以希望对广大中学生朋友们突破这一难点提供一定的帮助。关键词：数列；通项公式；方法；中图分类号：G623.5一、观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1)9,99,999,9999,...(2)1,1/2,1/4,1/8,...解：(1)变形为：101-1,102-1,103-1,104-1,通项公式为：10n-1(2)变形为：1/21-1,1/2
2、2-1,1/23-1,1/24-1,,通项公式为:l/2n-1观察法就是要抓住各项的特点，与常见的数列形式相联系进行变形，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项数n的关系，写出通项公式。二、定义法是公比为q的(qWR且qHl)的等比数列，若函数f(x)=(x-1)2,且al二f(d-1)，a3=f(d+1),bl二f(q+1),b3二f(q-1),求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式;解:(1)Val=f(d-1)二(d-2)2,a3二f(d+1)二d2,•・・a3-al=d2-(d-2)2=2d,•Id=2,/.an=al+(n~1)d二2(n-
3、1)；又bl=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,由qWR,且qHl，得q二-2,/.bn=b-qn-1-4•(-2)n-l当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。三、叠加法例3：已知数列6,9,14,21,30,•…求此数列的一个通项。解：已知a2-al=3,a3-a2=5,...,an-an-l=2n-1,・・・各式相加得：an-al二3+5+.・・+(2n-1)二n2-1an=n2+5对于可表述成为an-an-l=f(n)的形式的数列，即可通过叠
4、加的方法消去a2至an-1项，从而利用的已知求出。四、叠乘法a2n+l-nan2+an+lan二0,求数列｛an｝的通项公式。解：T(n+1)a2n+l~nan2+an+lan=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+l+an)=0又｛an｝是首项为1的正项数列，•・an+1+anH0，•I(n+1)an+1-nan=0,由此得出：al=2a2,2a2=3a3,...,(n-1)a(n~l)=nan,这n_1个式子，将其相乘得：al=nan,又Val=l,Aan=l/n,Vn=l也成立，/.an=l/n(n^N*)。对于相邻的两项有确定
5、的比例关系的递推式，可以通过叠乘法消去和，从而利用的已知求出此类数列的通项公式。五、取倒数法例5：已知数列｛an｝,al=-l,n^N*,求an=?解：把原式变形得an+1-an+1•an二an两边同除以anan+1得l/an=l/an+l+1/.｛1/an｝是首项为T,d=-l的等差数列故an=-l/n有些关于通项的递推关系式变形后含有anan+1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an。六、利用公式an=Sn-Sn-l(n三2)求通项Sn满足Sl>1且6Sn=(an+1)(an
6、+2)nWN*,求｛an｝的通项公式。解：由al=Sl=解得al=l或al=2,由已知al二SI〉1,因此al-2又由an+l=Sn+l~Sn=1/6(an+1+1)(an+1+2)-1/6(an+1)(an+2)得(an+l+an)(an-l-an-3)=0•/an>0/.an-l-an=3从而｛an｝是首项为2,公差为3的等差数列，故｛an｝的通项为an二2+3(n-1)二3nT。有些数列给出｛an｝的前n项和Sn与an的关系式Sn=f(an),利用该式写出Sn+l=f(an+1),两式做差，再利用an+l=Sn+l-Sn导出an+1与an的
7、递推式，从而求出ano七、构造等比数列法例7:已知数列｛an｝满足al=l,an+l=2an+l(n£N*),求数列｛an｝的通项公式。解：构造新数列｛an+p｝,其中p为常数，使之成为公比是an的系数2的等比数列，即an+1+p=2(an+p)整理得：an+l=2an+p,an+1二2an+l/.p=l即｛an+1｝是首项为al+l=2,q=2的等比数列二an+l=2•2n-l•Ian=2n-lo原数列｛an｝既不等差，也不等比。若把｛an｝中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形如an+1二ban+c
8、或an+l=ban+f(n)an+l=或an+l=ban+cn其中b、c为不相等的常数，f(n)为一次式。总之，数列是初等数学向高等数学
