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1、高中数学学业水平考试考前复习提纲5.1向量的概念、加减法、数乘运算[知识清单]1.向量的概念：既有大小又有方向的量。大小和方向是向量的两个要素，它带有方向，具有几何意义，向量不能比较大小；2.向量的相关概念：零向量：长度为0的向量；向量的模：表示向量的有向线段的长度；单位向量：长度等于1的向量；相等向量：长度相等且方向先同的向量；平行向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量3.向量的加减法和数乘运算：向量的加法：三角形法则和平行四边形法则;向量的减法：既为加上某向量的相反向量；=的终点指向的终点；向量的数乘：为一个向量，规定：①；②当时，的方向与方向相同，当时，的方向与
2、方向相反，当时，。4.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使.基底：不共线的向量为一组基底；向量的夹角：；5.平面向量的坐标表示：为一组基底,则6.平面向量的坐标运算：①两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；②实数与向量的积的坐标于用这个实数乘原来向量的相应坐标；③一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。7.共线向量的坐标表示：,其中，则[典型例题]例题1：给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若
3、a=b,b=c,则a=c；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若
4、a
5、=
6、b
7、,则a=b。⑥若a与b共线,b与c共线,则a与c共线其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个例题2：设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.例题3：凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：[课堂练习]1．下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有其中正确命题的序号是：（）A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2．化简得（）A．B．C．D．
8、3．若向量与相等，且A（1，3），B（2，4），则x为（）A．1B.1或4C.0D.-44．已知向量=(x-5,3),=(2,x)且则由x的值构成的集合是（）A.B.C.D.5.已知且与的夹角为，k的值是_______．6.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是______[课后作业]1．点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3),即点P的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位,设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后P的坐标为()A.(-2,4)B.(-30,24)C.(10,-5)D.(5,-10)2设向量=(2,-1
9、)，向量与共线且与同向,的模为2,=3已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及求（1）t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。5.2向量的数量积与运算律：[知识清单]1.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量
10、a
11、
12、b
13、cosq叫a与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=
14、a
15、
16、b
17、cosq，（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.2.向量的数量积的几何意义：数量积a
18、×b等于a的长度与b在a方向上投影
19、b
20、cosq的乘积.3.两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是单位向量；①e×a=a×e=
21、a
22、cosq；②a^bÛa×b=0；③当a与b同向时，a×b=
23、a
24、
25、b
26、；当a与b反向时，a×b=-
27、a
28、
29、b
30、.特别地a×a=
31、a
32、2或④cosq=⑤
33、a×b
34、≤
35、a
36、
37、b
38、。⑥4.平面向量数量积的坐标表示：若则①②③[典型例题]例题1。若且，则向量与的夹角为（）A、B、C、D、例题2：试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．例题3：设作用于同一点O的三个力、1、2、3处于平衡状态，如果
39、1
40、=1，
41、2
42、=2，1与
43、2的夹角为.求①.3的大小；②.∠F3OF2的大小.[课堂练习]1．已知反向，下列中成立的是（）A．B．C．D．2．若，，则的数量积为（）A．10B．－10C．10D．103．已知，且，则的夹角为（）A．60°B．120°C．135°D．150°4．非零向量，则的夹角为5．在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是6．已知为单位向量，=4，的夹角为，则方向上的投影为-2[课后作业]1．若，且，则向量与的夹角为(C)A．30°B．60°C．120°D．150°2.垂直，则等于3．已知a与b的夹角为,若向量2a+kb与a+b垂直,求实数
