数学破题计(8)

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1、第5计才子开门风情万种●计名释义所谓才子，就是才思繁捷的弟子.数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画.这里，人们看到的“胡乱”只是外表.在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后.别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.●典例示范［引例］试比较以下三数的大小：，，［解一］建构函数法设f(x)=f＇(x)=ln≤0f(x)为减函数>>［旁白］才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.［评语］学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.［解二］　作差比较法-=<0-=>0［旁白］才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.［评语］解题成本你不

2、管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.［旁白］大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.［奇解］×=<1×=>1>>［旁白］大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪.于是才子有了如下的自评.［自评］标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.［旁白］这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解［正解］f(x)=f＇(x)=ln<0(x≥3)>>>>12/12［旁白］大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下.于是又有了下面的奇文.［评语］因为数3比e大

3、，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.【例1】已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b=()A．(，)B．(,)C.()D．（1，0）【特解】由

4、b

5、=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.【评说】本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.【别解】因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项.又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.【评说】本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！【另解】设b=(cosα

6、,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)=cosα+sinα=sin(60°+α)=在区间（0，π）上解α得：α=60°.故b=().【评说】本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.【错解】选A者,误在(a，选C者,误在

7、（）·a

8、=1.选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.【评说】本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.●对应训练1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x

9、x·f(x)<0}等于（）A.{x

10、x>3或-3

11、0

12、x

13、>3或x<-3}D.{x

14、0

15、0

16、,选D.(1)(2)解析二由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0

17、0

18、解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.2.【分析】排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并