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《2013高中文科平面向量习题精选》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2013高中文科平面向量习题精选一、证明三点共线例1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是A3、AQ的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG:GC=DH:HC=l:2.设EG和HF交于点P,求证P、A、C三点共线.解设DA=a,DB=b,DC=c,贝iAC=DC-DA=c-a需二磊孑•••PF*・•・PA=3FH+DF=3(DH/y、-DF)+DF=3*DC-DF+DF丿=DC-2DF=DC-DA=c-a:.PA=AC且A为B4、AC公共点，故P、A、C三点共线CCi二、证明直线平行平面向量d平行平面ABC的充要条件是a=xAB+yAC例2直四棱柱ABCD-A^C^中，M、W分别是与
2、BG上的点，且绻-急求证测〃平面ABCD•••MN=AN-AM=AB+BN-AM=ci+XBC-XABq+入(c+/?)-九(c+a)解设AB=a,AD=b,AA]=c,^-=-^=X，则A/?!=a+入(BB、+B]C])—九(Az4j+4妨)==(1-九)a+(l+九)b,且d与Q不共线/.MN〃平面ABCD,而MNu平面ABCD9故MN〃平面ABCD.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）例3如图，在以面体ABCD+，M是AB的中点，N是CD的屮点，求证：MN是异面直线AB,CD的公垂线的充要条件是：AC=BD,BC=AD.证明设AM=ci,l4N=b,CN=c必要性若MTV
3、是异面直线AB,CD的公垂线，则ah=0,hc=0・.•AC=AM+MC=AM+MN+NC=a+b-c,同样的可得BD=-a+b+c,BC=-a+b—c,AD=a+b+cAC2=^a--b=a2+/?2+c2-2ac,=(-d+b+c)=a2+Z?2+c2—2ac因此，AC=BD,同理BC=AD.2r充分性由AC=BD,得(o+b-c)=(—a+Z?+c)<=>ci]b=b①22由BC=AD,得(-d+b-c)=(d+b+c)<^>ab=-bc②①+②得ab=0故MN丄AM,同理MN丄CN,即MN是异而直线AB,CD的公垂线.四、求异面直线的夹角例4在正四面体ABCD中，M、P分别为
4、棱AD.CD的中点，N、Q分别是面BCD、面ABC的中心，求MN与PQ的夹角.解设正四面体的棱长为2,0为BC中点，AB=a,AC=b,AD=c,贝9a=h=c=29cib=bc=ca=29・・・MN=AN-AM=AO.ON-iAD=AO^OD-^D=AO+
5、(AD--2A°=F°-6AD+b4C+AD)=£(2a—b)_*16C即
6、M7V
7、=
8、PQ
9、=1,MN存cos〈MN,P0=MNPQMNPQ18因此，MN与PQ的夹角为arccos-十kis丿空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱坏节，如果不注意及时补上这一课，久而久之，应用向量的思维会钝化，甚至会缘木求鱼.向量回路与基底例：如图
10、1,在平行四边形ABCD中E,F分别为AD,CD中点，连接BE,BF交AC于点R,T,求证R,T分别为AC三等分点。图1基底法证明：第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题屮的几何元素，将平面儿何问题转化成向量问题：设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b0第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：由于AR与AC共线，所以，我们设r=n(a+b),nwR,又因为EB=AB-AE=a—Z,ER与EB共线,所以我们设2ER=mEB=m{a-丄b)。因为AR=AEL,所以r=-b+m(a-丄b)。因此2221im—{a^b)=-b+m{a—一b),即(n-m)a
11、+(n+-~)b=0o由于向量a,方不共线，要222112使上式为0,必须4。解得n=m=~.所以AR=-AC,AT=-AC.n+-—=03332第三步，把运算结果“翻译”成儿何关系：AR=RT=TC0回路法证明：由题意得AB=DC=2FC,即AT+TB=2FT+2TC.IOW向量的基本定理，可得AT=2TC,故点T为AC三等分点。同理点R为AC三等分点。从学生己有的知识储备来考虑，学生己经学过三角形相似，很容易证明ATBCTF,ATAR从而一=一=2,而学了教材上的新方法反而更复杂了。CTCF基底法常见的作法是：一上来就设基底，然后将其他向量用基底表示，接下来只要计算就行了。而回路法则
12、是：先充分利用题目已知条件列出等式，再逐步转化。譬如上面的例题，一遇到平行四边形ABCD,基底法马上就设“AB=a,AD=b”,根本不管题目中的另外己知条件。这样设基底，用处不大，通过“A3二a,AD=b”连AB、AD是平行四边形ABCD的两邻边都看不出来。而回路法的“AB=DC=2FC”,短短一行式子，就将平行四边形、屮点两个基本信息包含在内了。解题，是从已知条件岀发，利用推理规则，到达结论的彼岸。面对一个题目，可用的方法、定理、
