2018专题探究课1函数与导数中的高考热点问题

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1、专题探究课（一）函数与导数中的高考热点问题（对应学生用书第44页）I题型1

2、［命题解读］函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性（求函数的单调区间）、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.利用导数研究函数的性质函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：（1）讨论函数的

3、单调性或求单调区间；⑵求函数的极值或最值；（3）利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.卜例■（2015-全国卷II）已知函数J（x）=x+—x）.⑴讨论.心）的单调性；（2）当兀V）有最大值，且最大值大于2d—2时，求a的取值范围.［解］（1笊兀）的定义域为（0,+-）,/（兀）=£一久若qWO,则/V)>0,所以yu）在（0,+°°）上单调递增.则当时，/W>o；当+oo）时，/（x）<0.所以几兀）在（o,上单调递增，在（*,+°°）上单调递减.⑵由⑴知，当gWo时，几0在（0,+s）上无最大值;当a>0时，/U）在x=-取得最大值，最大值为因此n~>2(7—

4、2等价于lna+a—1<0.令g(a)=lna+d_l,则g(d)在(0,+8)上单调递增,g(l)=0.于是，当0时，g(a)>0.因此，q的取值范围是(0,1).［规律方法］1.研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则.2•讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断TXr)的符号问题上，而才(兀)>0或/(x)<0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.3.若已知几◎的单调性，则转化为不等式f(心0或0在单调区间上恒成立问题求解.［跟踪训练］(2018・福州质

5、检)己知函数J(x)=ax+x1-ax(a^R).【导学号：97190096］(1)若兀=3是/⑴的极值点，求心)的单调区间；⑵求g(x)=J(x)-2x在区间［1,e］的最小值h(a).［解］(1VW的定义域为(0,+®),因为x=3是/(x)的极值点,所以/(3)=-=0,解得a=9.2x2-9x+9(2x-3)(x-3)3所以当OVxV㊁或x>3时，于⑴>0;当

6、

7、g⑴在［1,e］上为增函数，/2(Q)=g(l)=_d_］；②当IV号Ve,即2

8、利用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数

9、的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围.»例(2017•全国卷I)已知函数J(x)=ae2x+(a-2y-x.(1)讨论/U)的单调性；(2)若几v)有两个零点，求a的取值范围.懈］(1W)的定义域为(一°°,+°°),f(x)=2ac2x+(a-2)cx-1=(acl)(2cA+l).(i)若aWO,则f(x)<0,所以几r)在(一8,+s)单调递减.(正)若《>0,则由几x)=0得x=~lna.当XE(—oo,—Ina)时，/(x)<0；当兀丘(—Ina9+8)时，f(x)>0.所以夬兀)在(一°°,—Ina)单调递减，在(—Ina,+

10、8)单调递增.(1)(1)若qWO,由⑴知，，心)至多有一个零点.(ii)若°>0,由(1)知，当x=—a时，.心)取得最小值，最小值为/(—Inci)=1—一+lna.①当a=时，由于lna)=O,故7U)只有一个零点；②当qW(1,+b)时，由于1—丄+ln6z>0,d即7(—Ina)>0,故几r)没有零点；③当aW(0,l)时，1一丄+lnaV0,即X-ln^)<0.又j(—2)=ae~4--(ci—2)e2+2>—2e2+2>0,故夬兀)在(―°°,—Ing)有一个零点.设正整数弘满足/