信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开

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1、第三章周期信号的傅立叶级数表示FOURIERSERIESREPRESENTATIONOFPERIODICSIGNALS电子信息与电气工程学院本章内容连续时间周期信号的傅立叶级数表示周期矩形脉冲的谱线特点§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示{1,cosnt,sinnt}n=1,2,,是一个完备的正交函数集11T2cosntsinntdt011T2TT2mncosntcosmtdt211T20mnTT2mnsinntsinmtdt211T20mn§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示

2、1.三角函数形式的傅立叶级数21xt()的周期为T1，角频率为1，频率为f1。在满足狄里克利条件下，T1T1xt()a0[ancos(nt1)bnsin(nt1)](1)n1其中n为正整数，n分别为正弦函数信号的基频(n=1)和各次谐频。11t0T1axtdt()直流分量：0tT012t0T1余弦分量：anxt()cos(ntdt1)——关于1的偶函数Tt012t0T1正弦分量：bxt()sin(ntdt)——关于1的奇函数n1Tt01§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示xt()a0[ancos(nt1)bnsi

3、n(nt1)](1)n1若将是（1）中同频率项合并，可以出现Fourier级数的其他形式xt()c0cncos(nt1n)——余弦形式n1xt()d0dnsin(nt1n)——正弦形式n1(1).f(t)aacosntbsinnt0nn三角函数形式n1(2).f(t)A0Ancos(ntn)余弦形式n1b1n其中：Aa22tg00AnanbnnanaAcosbAsinnnnnnn(3).f(t)ddsinnt正弦形式0nnn1b22tg1

4、n其中：d0a0dnanbnnanadsinbndncosnnnnAn~关系曲线称为幅度频谱图；n~关系曲线称为相位频谱图。幅度频谱A~n相位频谱n~离散谱，谱线§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示2.指数函数形式的Fourier级数（1）正交函数的形式有很多，除了正弦函数集外，复指数函数也是正交函数集如：jnt{e1},n0,1,2,3jnt1也就是周期信号ft()可以分解为(-∞,+∞)区间上指数信号e的线性组合：jnt1xt()Xn(1)e(1)n根据正交函数集求解系数的方法（复变函数的正交特性，注意：共

5、轭）T1jnt1xte()dt1T01jntXn()xte()1dt1T10ejnt1ejnt1dtT10§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示jnt1根据欧拉公式，正弦函数与指数函数的关系ecos(nt)jsin(nt)111T1jntXn()xte()1dt1T011T11T1xt()cos(ntdt)jxt()sin(ntdt)0101TT111(ajb)nn2*1而X(n)Xn()(ajb)11nn2jnXn()

6、Xn()

7、e11§3.1连续时间周期信号的傅立叶级数表示（2）由此可以得到这种表示

8、方式的幅频和相频特性：1221

9、Xn(1)

10、(anbn)cn——幅频——关于n1的偶函数221annntg()——相频——关于1的奇函数bn2jntf(t)Fnen2F10j0.151F1.12e112jj0.151F1.12e112j1j1jFe4Fe422221jt1jt1j4j2t1j4j2tf(t)11e1eeeee2j2j22π1sin1t2cos1tcos21t4F~双边频谱nFAan

11、jbnAnjnFanjbnAnejn00Fnen2222(n>0)(n<0)xt()jn1tjnt1是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对e与e，才能保证xt()实函数性质不变。因此引入负频率只有数字意义，而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数学上处理起来要方便的多。§3.2周期矩形脉冲的谱线特点xt()EtT1T122脉冲为，脉冲高度为E，周期为T1T1Xn()12x