数学分析第一学期教案

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1、§1实数一、实数及其性质有理数：用分数形式表示，有限十进制小数或无限循环小数实数无理数：无限不循环小数有限无限化：正当时，记当为正整数时，对于负的先正再加负号0=0。0000﹍定义两个实数大小的关系：定义1：给定两个非负实数，其中为非负整数，为整数若有则称若或存在非负整数，使得而，则称。对于负实数，定义2：设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似，而有理数为实数的位过剩近似。对于负实数注意：不足近似，当n增大时不减。而过剩近似当n增大时不增。命题：设，则的例1设为实数，。证明：存在有理数满足实数的主要性质：1、四则运算是封闭的

2、。2、有序的。3、大小关系具有传递性。1、阿基米德性，即对，若，则2、稠密性3、数轴例2：，证明：对于任何正数，有，则。二、绝对值与不等式1、定义：2、几何意义3、性质

3、a

4、=

5、-a

6、≥0-

7、a

8、≤a≤

9、a

10、

11、a

12、

13、a

14、-

15、b

16、≤

17、a+b

18、≤

19、a

20、+

21、b

22、

23、ab

24、=

25、a

26、

27、b

28、

29、a/b

30、=

31、a

32、/

33、b

34、三、注解1.本书记号全称量词：，，从而引入了谓词逻辑，谓词逻辑的三个主要关键难点和要害是：存在性的验证（取出则存在，存在则能够取出），命题的否定（先把命题公式化，然后写出否定表达，然后做出解释），蕴涵关系的公式化

35、（对于任意或者存在逻辑变元，在命题的内层已经确定，内层和外层的区分在于对命题的习惯性或经验性描述）；注概念的命题性描述。2.集合的表示：正整数集，整数集，有理数集，实数集；3.实数域中的符号：，；4.的合理性；5.实数域和有理数域；6.典型例题（实数的稠密性）：例2设，证明：若有则；反证法是证明上述命题的逆否命题成立，外层的蕴涵的逆否是结论不成立在前提不成立，前提不成立的逻辑描述是，验证此命题的关键是存在性的验证，通常有三种取法：取ε0=a－b，取ε0=（a－b）/2，取ε0=c－b其中c是取a，b之间的一个实数，共同的本质是

36、实数的稠密性；作业：1---6思考题：7---9§2数集与确界原理一、区间与邻域　区间：开区间、闭区间、半开半闭区间、无限区间。　邻域：Ｕ（a；）Ｕ0（a；）Ｕ+（a；）Ｕ-（a；）Ｕ（；）二、有界集·确界原理1、有界集：设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切，都有，则称S为有上界（下界）的数集数M（L）称为S的一个上界（下界）。若既有上界又有下界，则称有界集，否则为无界集。注意：区间与界集的关系；界的个数。例：证明数集N+={n

37、n为正整数}有下界而无上界。2、确界1）定义：设S是R中的一个数集，若数满足：⑴对于

38、一切，有⑵对于任何存在，使得则称为数集S的上（下）确界，记作例1：设S={x

39、x为区间（0，1）中的有理数}，证supS=1，infS=0例2：E=，（0，1）[0，1]N注意：唯一性且infS≤supS；确界可能属于S，也可能不属于S例3：设数集S有上确界。证明2）确界原理定理：设S为非空数集。若S有上（下）界，则必有上（下）确界。例4：设A、B为非空数集，满足对一切和有。证明A，B有上、下确界且supA≤infB例5：设A、B为非空有界数集，S=A∪B。证明：supS=max（supA，supB）infS=min（infA

40、，infB）三、注解1.原理是存在性的验证为取到；2.上述两个例题的证明可以用概念的两条来证明（用的是谓词逻辑），也可以用上确界是最小上界，下确界是最大上界来证明（用的是命题逻辑），显然用命题逻辑更简单；3.问题是命题逻辑虽然简单，但是概念是语言性描述，而不是数学语言描述，而用谓词逻辑虽然是数学语言，却因为是谓词逻辑，因而对于初学者来说接受起来更难一点；作业：1、2、4、5思考题：2、6、7、8§3函数概念一、定义1、概念：给定两个数集D和M，若有对应法则，使得D内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在D上的函数，

41、记作：D定义域，1、几点说明：1）两个主要因素2）定义域3）单值对应（映射）4）多值对应二、函数的表示法：解析法、列表法、图象法1、分段函数sgnx2、语言描述法D（x），R（x）三、四则运算：给定两个函数和，记，并设，则F（x）+，G（x）-，H（X）*L（x）/注意：若D=，不能运算四、复合函数1、定义：设有两函数记E*={，则对每一个，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u有通过函数对应唯一的一个。这就确定了一个定义在E*上的函数，它以为自变量，为因变量，记作或2、注意：复合的条件3、例五、反函数2、概念：设函数满足：

42、对于值域中的每一个值，D中有且有一个值使得则按此对应法则得到一个定义在上的函数，叫的反函数，记或3、注意问题：存在的条件；与的区别六、初等函数a)基本初等函数（6类）b)初等函数作业：1、4、6思考题：3、5、7、8、11§4具有某些特性的函数一、有界函数有界无界1、定义1：