《导数与函数的单调性》教案

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1、《导数与函数的单调性》教案太白中学许爱茹教学内容：北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。教学方法：发现式、启发式教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程预设教学环节师生活动设计意图一、

2、回顾与思考提问1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）2．比如，要判断y=x2的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动

3、地参与到学习中来。6二、观察与表达（探索函数的单调性和导数的关系）问：函数的单调性和导数有何关系呢？教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：函数及图象单调性切线斜率k的正负导数的正负yy=x2oxobaxyy=f(x)oxbayy=f(x)问：有何发现？（学生回答）问：这个结果是否具有一般性呢？我们来考察两个一般性的例子：（教师指导学生动手实验：把准备的文具放在表中曲线y=f(x)的图像上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）问：能否得出什么规律？让学生归纳总结，教师简单板书：在某个区间(a，b)内，

4、若f'(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f'(x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。教师说明：要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。3．得

5、出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。6三、知识应用1．应用导数求函数的单调区间基础训练1．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。（学生口答）2．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为______函数，在[1,2]上为______函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。为加强

6、学生对结论的理解与记忆，设计了两个基础训练题。由于思维定势，学生可能仍用以前的方法，这里教师要引导学生用导数法求解。理解训练例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。（引导学生得出解题思路：求导→令f'(x)>0，得函数单调递增区间，令f'(x)<0，得函数单调递减区间→下结论）变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤设计变式

7、1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。巩固提高变式2：求函数y=3ex－3x单调区间。（学生上黑板解答）变式3：求函数的单调区间。设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。学生小结1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？

8、（教师强调第一步应求定义