函数的单调性与导数(获奖教案

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1、3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容用1课时完成，主要经历

2、从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.教学目标重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探

3、索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三角板课堂模式：学案导学一.引入新课师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.师：因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？生：注意定义域.师：如果遇到函数，如何判断单调性呢

4、？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数

5、的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?二．探究新知师：如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？生：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的“源”，

6、巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题.师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数的定义域为，并且在定义域上是增函数，其导数；（2）函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增；而，当时，其导数；当时，其导数；当时，其导数．（3）函数的定义域为，在定义域上为增函数；而，若，则其导数，当时，其导数；（4）函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递减,而，

7、因为,所以.师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内,如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.三.理解新知师：如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？生:在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附

8、近单调递减．师生共同总结：函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：如果，