《圆锥曲线方程》doc版

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1、圆锥曲线方程何耀洪一、知识框架二、重点难点重点：椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轭双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；难点:利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。三、知识点解析1、椭圆及其标准方程（1）定义：1）文字定义：第一定义：

2、平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；注意：非常重要。因为当时，其轨迹为线段；当时，其轨迹不存在；第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提，定点为椭圆的一个焦点，定直线是此焦点的相应的准线，为椭圆的离心率；2）符号定义：9（2）方程：1）标准方程：①焦点在轴上：；②焦点在轴上：；2）参数方程：，是参数；3）注意：①标准方程中的常数源于，常数和决定椭圆的大小和扁平程度，是

3、椭圆的定形条件；②焦点的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型；③任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式．当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。2、椭圆的简单几何性质1）范围：；2）对称性：关于轴对称，关于原点中心对称；3）顶点：长轴端点，短轴端点；4）离心率：；5）准线：；6）焦半径：，。3、双曲线及其标准方程（1）定义：1）文字定义：第一定义

4、：平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，；注：若，则点无轨迹；9若，则点的轨迹为以焦点为端点（向两端出发）的两条射线；第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹就是双曲线，定点为双曲线的一个焦点，定直线是双曲线的相应于这个焦点的准线，常数是双曲线的离心率；2）符号定义：（2）方程：1）标准方程：①取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，设焦距，为双曲线上任一点，则，这里的坐标为，这个方程称为焦

5、点在轴上的双曲线的标准方程；②如果双曲线的焦点在轴上，焦点坐标为则，这个方程称为焦点在轴上的双曲线的标准方程；2）参数方程：；（3）等轴双曲线：实轴、虚轴长相等的双曲线就是等轴双曲线；（4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，他们的离心率满足。4、双曲线的简单几何性质1）范围：；2）对称性：关于轴对称，关于原点中心对称；93）顶点：轴端点；4）离心率：；5）准线：；6）焦半径：：在右支上，；在左支上，。5、抛物线及其标准方程（1）定义：1）抛物线：平面内与

6、一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。其中，定点不在定直线上；2）圆锥曲线的统一定义：平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比等于常数，则当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是双曲线；当时，动点的轨迹是抛物线；其中定点不在定直线上；定点为圆锥曲线的一个焦点，定直线为此焦点相应的准线，常数为离心率；（2）方程：1）标准方程：（开口向右），（开口向左），（开口向上），（开口向下）；2）参数方程：（为参数）。6、抛物线的简单几何性质9四、例题1

7、、椭圆及其标准方程2、椭圆的简单几何性质例1已知为椭圆的左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的点，当，（为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。解析求椭圆的离心率，即求，只需求的值或用同一个量表示。本题没有具体数值，因此只需把用同一量表示，由，易得。解设椭圆方程为，，则，即。，即，，。说明由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键。例2如图所示，设的焦点为，且，求证：的面积。解析有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设，则，消去可解。解设，则，又，由余弦定理有，于是

8、，所以，这样即有。例3若椭圆与直线交于两点，为的中点，直线9（为原点）的斜率为，且，求椭圆的方程。解析欲求椭圆方程，需求，为此需要得到关于的两个方程，由的斜率为，易得的两个方程。解设。由，。，。①。，，②由①②得，所以方程为。说明直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。3、双曲线及其标准方程4、双曲线的简单几何性质例1根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；