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《高中数学-必修2-132-球的体积与表面积-学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.3.2球的体积和表面积学习目标：1•了解并掌握球的体积和表面积公式2会用球的体积与表面积公式解决实际问题.（重点）3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.（难点、易混点）［自主预习•探新知］1.球的体积设球的半径为/?,则球的体积卩=駆.2•球的表面积设球的半径为/?,则球的表面积S=4兀即球的表面积等于它的大圆面积的生倍.［基础自测］1•思考辨析（1）球的体积之比等于半径比的平方.（）（2）长方体既有外接球又有内切球.（）（3）球面展开一定是平面的圆面.（）（4）球的三视图都是圆.（）［提示］（1）X体积比应为半径比的立方.（2）
2、X长方体不一定有内切球.（3）X球面展不成平面.⑷丿2.若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是（A.4兀C.fD.2ttC2CC2C[由2tiR=C,得R=石,所以5m=4k/?2=—]3.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（）A.2倍B・4倍C.8倍D.16倍C［设气球原来的半径为r,体积为V,则V=
3、jrr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为^7r(2r)3=8X^7i/*3.］1.一个球的外切正方体的表面积为6cm2,则此球的体积为()B.y[68兀cm丄3C・gTccnrD.6兀cmC［设球的
4、直径为2Rcm,则正方体的棱长为2/?cm,所以6X4/?2=6,解得R=*,所以球的体积为$xg=*r(cn?)・］［合作探究•攻重难］偻翌球的表面积与体积»例(1)已知球的表面积为64兀，求它的体积;(2)已知球的体积为罟兀，求它的表面积.看精彩徽课【导学号：07742066］［解］(1)设球的半径为厂，则由已知得4兀/=64兀,r=4.所以球的体积：V=^X兀X(2)设球的半径为/?,由已知得4<500“…_押?-=刁-兀，所以R=5,所以球的表面积为：S=4k/?2=47cX52=IOOtc.［规律方法］求球的表面积与体积的一个关键
5、和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S球=4兀"，球的体积公式“球=为疋是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.［跟踪训练］1.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48jicm球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为厂的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥
6、内水面的咼是多少?思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.
7、解
8、设'PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC=h,球取出后水面高PH=x,如图所示.VAC=V3r,PC=3厂，与球有关的切、接问题［探究问题］母题探究：1•若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面,则球的表面积为cm。256兀［易知截面为一圆面，如图所示，圆0是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作0C垂直于点C,连接04.由截面面积为48ttcm2,可得AC=4书cm.
9、设0A=R,则0C=*R,所以，一=(4^3)2,解得R=8cm.故球的表面积S=AnR2=2567r(cm2).2.平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是()100兀3A.~-cnrC.500兀3丁cnr厂208k3B・3cnr门416届3D.3cm，C［根据球的截面的性质，得球的半径7?=^/32+42=5(cm),所以卩球=扌兀卅=警（曲）.］［类型3・・・以4B为底面直径的圆锥的容积为V^=^7tAC2-PC=*兀(、/§厂)彳3厂=3兀八，V球球取出后水面下降到EF,水的体积为V^=^tiE
10、H2-PH=^(PW-tan3O°)2-P//=g7Lx3.而V^.=V—V球,即+兀x3=3ti/—扌兀/,・••兀=^/l~5r.故球取出后水面的高为yj~5r.［规律方法］1.画出截面图是解答本题的关键.2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题然后再利用等量关系进行计算.［跟踪训练I1.圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个肓径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少?4［解］设取出小球后，容器中水面下降hcm,两个小球的体积为V球=2X亍3Tc
11、xg)=晋，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V=7tX52X/z,所以^y^=7rX52X/z,所以/z=
12、(cm),即若取出这两个小球，则容器的水面将下降
13、cm.［类型©I
