必修2.1.3.2球的表面积与体积.docx

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1、§必修2.1.3.2　球的表面积与体积教学目标1．了解球的表面积和体积的计算公式．2．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．学习内容知识梳理1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．例题讲解题型一　求球的体积和表面积例1　把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的(　　)A．2倍B．2倍C.倍D．3倍解析：设改变前，后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝r.V′＝＝2×.答案：B点评：确定一个球的条件是球心位置和

2、球的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．巩固　若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是________．A．3πB．2πC.πD．4π例2一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．解析：(1)当截面在球心的同侧时，图甲所示为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(c

3、m)．设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．∴球的表面积为2500πcm2.(2)当截面在球心的两侧时，图乙所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20

4、(cm)．设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.点评：球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．巩固　用与球心距离为2的平面去截球，若球的体积为36π，则所得截面圆的面积为________．题型二　球的内接、外切几何体问题例3　有

5、三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：作出截面图，分别求出三个球的半径．设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr21＝πa2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr22＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有2r3＝a，

6、r3＝a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．下列结论常用：①正方体的8个顶点在同一个球面，则正方体的体对角线是球的直径；②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．巩固　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．题型三　球的体积、表面积的综合应用例4　一个直径为32cm的圆柱形水桶中放入一

7、个铁球，球全部没入水中后，水面升高9cm，则此球的半径为________cm.解析：V＝Sh＝πr2h＝πR3，R＝＝12cm.答案：12巩固　半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．综合题库A组1．(1)一个球的半径是2，它的体积为________．(2)一个球的半径是2，它的表面积是________．(3)一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的________倍．(4)一个球的体积是36π，它的表面积是________．2．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是(　　)A．2

8、7πB．18πC．9πD．54π3．若两个球的表面积之比为1∶4，