数学竞赛2008年数列答案

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1、数列(三)递推数列与数列不等式一、国内各类试题A.高考题1.(2002天津)设数列｛a“｝满足aH+1=a^-nan4-1,a1>3,求证:(l)a2/t+2(2)1W—7+©7+畋了+%22.(2003天津)设兔为常数，&an=y-}TV)(1)证明对任意n>1,色=一［3"+(-1严•2"］+(一1)"•2na0；(2)假设对任意n>有d”>Q“_i，求心的取值范围.(1)证法一：(i)当n=l时，由已知ai=l—2他，等式成立；(ii)假设当n=k(k$l)等式成立，则务=—[3*+(―1)"'2打一(一1)*2d(),那么^+I=3k-2ak=3“一彳[3*+(—1)22*]-(—

2、1)辺如兔=-[3a+1+(-1)A2如]+(_1)如2如aQ.也就是说，当n=k+l时，等式也成立.根据(i)利(ii),可知等式对任何neN,成立.证法二：如果设an-3//_,-2(a/l_1-ci3n~]),用an-3/?_1~2an_}代入，可解出a=~-所以3"丄I是公比为-2,首项％

3、的等比数列.^-y=(l-2«0--)(-2r，(,7eN).即色一十罗+(-1)"2九(2)解法一：由d”通项公式an—an^5/.an>an_x(neN)等价于(_旷(5兔_1)v(尹彳应“).……①2>^+(一1宀><2宀+(_］畑2讥。・(i)当n=2k—1,k=l,2,…时，①式即为(—

4、l)2k~2(5aQ—1)<(y)2*3即为a.<-(-)2k-3+-.……②°525②式对k=l,2,…都成立，冇<1X(-)-1+-=-°52533(ii)当n=2k,k=l,2,…时，①式即为(-1)2^-1(5(70-1)<(-)2^-2③式对k=l,2,…都成立,有13”。1即为a0>一一x(-)……③55①式对任意®,成立，WO

5、.171CIq>X(_)2x，2H—=0.综上，525故他的取值范围为(0,丄).解法二：如果0〃>%_](nGNO成立,特别取n=l,2有d]—a。=1一3。0〉0.a2-a}=6a()>0.因此Ova。4*下面证明当05v討对任意",atl-

6、>0.由给的通项公式5(an-an_x)=2x3fM+(-1)门3x2心+(-l),r5x3x2心a0.(i)当n=2k-l,k=l,2…吋，5(an-an_})=2x3z,_l+3x2/,_I-5x3x2/,_1a0>2x2”"+3x2”t-5x3x2”"=0(ii)当n=2k,k=l,2…时，5(d”—q”_])=2x3"T—3x2"T+5x3x2"—。°>2x3"T-3x2/,_1>0.故他的取值范围为(0,丄).3.(2003江苏)设a>0,如图，已知直线I:y=cuc及曲线C：y=x2,C上的点Q】的横坐标为⑦(0V绚Va).从C上的点Qn(n^l)作直线平行于x轴，交直线I于点匕

7、+],再从点此+

8、作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn(n=l,2,3,…)的横坐标构成数列&”}.(I)试求d曲与绻的关系，并求仏}的通项公式;1”(II)(III)当=时，证明工他—如)％2厶Jt=ln1当a=i时，证明工a—%i)%+2

9、aaaa(II)证明：由a=^an+]=a^,vtz,<

10、,丄.1416丁当Rni时,c_+2

11、]•••X(务一d")@+2-TtX⑷一a^)=77(5一心+i)V右・铝16“i1632(III)证明：由(I)知，当0=1时，an=,因此t(ak-ak+l)ak+2=±(ar-廿加广走3-咱)严&=1&=1/=!2^-1门、5i=(1-4)彳£冲<(]_讪2._^^=5,<+,=11—cix1+d]34.(2004陕西)已知数列{©}的前/I项和S〃满足Sn=2an+(-l)>l.(1)求数列仏}的通项公式；1117(2)证明：对任意的整数加>4,有111

12、<—•a4a5am8(I)解：由a}=S}=2a}-1,得=1.由a】+色=S2=2a2+(一1)訂得&2=°・由aA+a2+偽=S3=2a3+(—l)3,得&3=2.(II)解：当n>2时，有勺=S厂S-严2(勺一％)+2x(—l)〃,碍=2%+2x(-l)U所以an=2'i%+2”tx(―1)+2心x(_1)2+…+2x(_1)心=2心+(-1)"[(一2)宀+(_2)i+..・+(_2)]—/z2[l—