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《中学数学竞赛讲义——数列》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、中学数学竞赛讲义——数列一、基础知识定义1数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,….数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…,an或a1,a2,a3,…,an…。其中a1叫做数列的首项,an是关于n的具体表达式,称为数列的通项。定理1若Sn表示{an}的前n项和,则S1=a1,当n>1时,an=Sn-Sn-1.定义2等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数列,d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d,则a=b-d,c=b+
2、d.定理2等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:Sn=;3)an-am=(n-m)d,其中n,m为正整数;4)若n+m=p+q,则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p,q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{an}称为等比数列,q叫做公比。定理3等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1;3)如果a,b,c成等比数列,即b2=ac(b0),
3、则b叫做a,c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。定义4极限,给定数列{an}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有
4、an-A
5、<,则称A为n→+∞时数列{an}的极限,记作定义5无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比q满足
6、q
7、<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。定理3第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。竞赛常用定理定
8、理4第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则xn=c1an-1+c2βn-1,其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定;(2)若α=β,则xn=(c1n+c2)αn-1,其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、方法与例题1.不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然
9、结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1,求通项an.【解】因为a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=,a3=,猜想(n≥1).证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。2)假设当n≤k时猜想成立。当n=k+1时,由归纳假设及题
10、设,a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,,所以=k(k+2)ak+1,即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立,所以例3设01.【证明】证明更强的结论:111、n-1等,这种办法通常称迭代或递推。例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3,q0,求证:存在常数c,使得·an+【证明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)]=q().若=0,则对任意n,+=0,取c=0即可.若0,则{+}是首项为,公式为q的等比数列。所以+=·qn.取·即可.综上,结论成立。例5已知a1=0,an+1=5an+,求证:an都是整数,n∈N+.【证明】因为a1=0,a2=1,所以由题设知当n≥1时an+1>an.又由an+1=5an+移项、平