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《高考数学竞赛 数列教案讲义（5）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n>1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d
2、.定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a q；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。定理3等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac
3、(b0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有
4、an-A
5、<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足
6、q
7、<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n
8、0成立。竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、方法与例题1．不完全归纳法。这种方法是从特
9、殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。例2已知数列{an}满足a1=,a1+a 2+…+an=n2an,n≥1，求通项an.例3设01.2迭代法。数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，
10、这种办法通常称迭代或递推。例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求证：存在常数c，使得·an+例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.例7求和：+…+例8已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：Sn<2。4．特征方程法。例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.例10已知数列{an
11、}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。三、基础训练题1．数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3.数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________
12、.4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>
