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1、数列关于数列的知识可以说怎么学怎么侑，还好我们只是来了解竞赛中最基木的一些东西，不然我可写不完了。©1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有-必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。①①弟=pj+q若p=l,则显然是以％为首项，q为公差的等差数列，(、若pHl,贝ij两边同时加上厶，变为%严丄=卩a占丄P—1〃一1I卩―1丿显然是以④+丄为首项，p为公比的等比数列0—1②色+1=Pan+/(")，其屮f(n)不是常数H-1若p=l,贝lj显然an=ai+^/(Z),n>2z=i若pHl,则两边同时除以pn+
2、，,变形为」岂an./(«)—十rpnpn+i利用叠加法易得仏=鱼+£型pnp/=1P1从而anvZ(i)/•=ip'注：还有一•些递推公式也可以川-•般方法解决，但是其他情况我们一般使川其他更方便的方法，下而我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。(2)不动点法当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛屮解决递推式的基木方法。典型例子:a•+b注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够C我们如果用-•般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令x=°“+"
3、,即ex1+(d-a)x—b=0,c•x+d令此方程的两个根为X],X2，若X]=X2则有11=Fp°”+1一Ean-X其屮k可以用待定系数法求解，然麻再利用等羌数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将P的表达式记住，a+d若X[HX2则有勺冲一Cln一兀2其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=上二虫a-cx2(1)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①an+2=Pan++Cian特征方程为X2=px+q,令其两根为X
4、,X2则
5、其通项公式为％=久斗+3・坊，A、B用待定系数法求得。②色+3=皿“+2+%“+1+8”特征方程为x3=px2+qx+r,令其三根为X],x2,x3则其通项公式为％•斗+B•毘+C•对，A、B、C用待定系数法求得。注：通过这两个例了我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛屮也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。(2)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。人家应当都会用数学归纳法，因
6、此这里不详细说了。但需要记得有这样-个方法，适当的时候可以拿出來用。(3)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例了看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题FI竞赛书中能见到很多。例数列｛a“｝定义如卜Iax=V2,=』2_,求｛%｝通项注：这个不太好看出来，试试人胆的猜想，然后去验证。⑹迭代法先了解迭代的含义fQ(x)=xf/1(x)=/(x),/2(X)=/(/(%)),/3(x)=/(/(/(%))),f右上角的数字叫做迭代指数，其中.厂”(x)是表示fn(X)的反函数
7、再來了解复合的表示/。g(x)二/(g(x))，fog。h{x)=f(g(h(x)))如果设F(x)=g-1ofog(x)f则Fn(x)=g-lofnog(x)f就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。而在数列中我们可以将递推式看成G曲=F(6/J,因此求通项和求函数迭代就是一•样的了。我们尽量找到好的g(x),以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。练习已知数列仏}满足al=1,a2=2,a2n+l=""十"力-】,a2tl+2=^2z,
8、+1tz2z?，试求数列的通项公式。注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。卜•血是我的一•个原创题目已知数列仏}满足a{=0,a2=lfan+[=n-[an+an_x),求该数列的通项公式。2数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了,这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。阿贝尔(Abel)恒等式有多种形式，最一般的是工也血-E+J+S“b”k=*=1其中比二注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法
9、。很多时候能简化不少。例：假设>6/2
