列谈泰勒公式应用

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1、列谈泰勒公式的应用摘要：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。本文利用泰勒公式这个特点，简单的介绍了无理数的近似方法，以及求极限的方法。关键词:泰勒公式;应用;无理数；求极限列谈泰勒公式的应用【预备知识】：泰勒公式：设/（兀）在勺处存在n阶导数：£©）=/（心+八兀）（兀一无））+^-（—心）2+・・・+^^（—心）"2!n!Rn（x）=f（x）一Tn（x）=>f（x）=Tn（兀）+Rn（x）—、用泰勒公式近似无理

2、数：利用九（兀）=/（*）+/（兀）（兀-兀。）+'J）（X-兀。）2+•••+『,"）（兀_兀0）"（公式1）近似以下无理数：1.14x（0

3、1（-1）33（-1）订35（-l）n+,.（2«-1）!!/（x）=Vl+x=l+—兀++—x+-_+…+-―-———222-223-3!24-4!2”・M（公式2）将1代入（1）中便可求得血很好的近似值。考虑到误羌，这里我们约定0

4、除0vx<3时情况下，也可以用类似方法求形如仮的近似值。例如求石的近似值:亦二冲彳4(1+”=2存于是我们令点并带入公式(2)中，求的占的近似值，最后用求得的值乘以2便可得到爸的近似值。以此类推，无论是石多么大，我们都可以将它化为wN*,lvz<3)的形式，利用(公式2)式，求得它的近似值。1.2Inx(x>0)的近似：但是形如1咔这样的无理数，我们不可能直接求出它的近似值，下面我们来推导关于lnx的泰勒公式。令x=X+l,则/(X)=ln(X+l),求得：f(X)=A=(l+X尸，/”(X)=—(l+X)—2,/⑶(X)=2(l+X)j,……，1+Xf(n)(X)=(—1)心

5、⑺一1)!(1+X)—"于是有/(0)=0,严(0)=(-1严伙-1)!。由此可知:ln(l+X)=X-—+—+—(公式3),于是将X=x-1带入(3)23n式，得至I」公式：ln(x)=(x—1)—匚比+匕巧―…+(—1)曲3^(公式4),便可23n以解决形如讼的近似值了。1.3arctan兀的近似：像arctan兀的无理数，我们运用泰勒公式：令/(x)=arctanx,则严)(0)=0,严“)(0)=(-1)心(2m-2)!,于是就有丫3丫52m-arctanr=x++(-l)/z,_I(公式5)352m-l从三个例子可以看出，利用泰勒公式近似无理数比起利用不等式近似无理

6、数的方法简单的多。同时，不难发现，只要所求无理数对应的形式函数在定义域内连续，并存在各介连续导函数，即可利用泰勒公式近似该无理数。二、用泰勒公式求极限：]COSX-幺2X4(l)lim&12心0x6(3)lim[x一x1ln(l+—)]200Xl-cos(sinx)Q)lim—so21n(l+x2)/c、exsinx-x(A^x)⑵吧—p—(4)lim(———)大一＞°%sinx解:-冷1cosx-e2+——x(l)lim—ox6246利用泰勒公式，有COS21一各+计—才+如）且一匚丫246n計宀则有■艺1o丄4cosx-e-+—x12于是COSX-(?2Xlim—XTOy°

7、7360(2)limxtOexsin兀一兀(1+兀)利用泰勒公式，有Z+x+专+如），sin“送+如）于是就有则exsinx-x(l+x)=—4-o(x3),一esinx-x(l+x)Ilim=-zx33(3)lim[x-x2ln(l+-)]XT0O%利用泰勒公式，有ln(l+丄)=丄-Jt+Jt+o(A)xx2x23x3x3则x—Fln(l+—)=+o(丄)，于是x23xx911hm[x-x2ln(l+—)]=—“TOOX2(4)lim(-)xtoxsinx利用泰勒公式，有sinx=x-^-+f?(x3),贝！Jxsinxsinx-xxsinxx(x+o(x'))——兀+o{

8、x)621-—+^(x2)6于是lim(丄-)一)=0xtoxsinxV、l-cos(sinx)(5)limTwo21n(l+x2•2•4利用泰勒公式有cos(sinx)=1-—+o(si(x)4ln(l+兀2)=x2+o(x4)9则有sin2x1sin2x+6?(sin2x)1-cos(sinx)12」2W)4/(1十+。(刊).•1-cos(sinx)lim卞-A->021n(l+；r)当然我们可以利用洛必达法则求这5个无理分式的极限，可是我们会发现，在分子分母求导的过程中，会出现不定型