导数在解决三次函数问题中应用

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1、导数在解决三次函数问题中应用【摘要】在高考试卷与模拟试题中，三次函数的问题考查经常出现，成为考试的重点。本文从求三次函数的单调区间、求三次函数的极值(或在闭区间上的最值)、求三次函数中参数的值或范围、求三次函数在某一点处的切线方程、求三次方程的根的个数五个方面介绍导数在解决三次函数问题中的应用。【关键词】导数三次函数单调性极值参数【基金项目】“十一五”国家级一般课题：课题编号：CTF120273-0202SX-03-021。【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2013)07-01

2、31-01近几年的高考与模拟试题中，三次函数的问题考查经常出现。如果应用初等解法，通常是计算量大，解题过程过于繁杂，导致结果容易出错。在我们学过导数后，通过求导得到的f‘(x)为二次函数，且f(x)的极值点为该二次函数的零点，同时曲线上的点P(x0,y0)处的切线斜率(x0),根据导数的这些特点，结合二次函数的性质，可使一些看起来很麻烦的三次函数问题迎刃而解。本文从五个方面浅谈一下导数在解决三次函数问题中的应用。应用一：求三次函数的单调区间分析：求函数单调区间的问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些。在这类题型

3、中，设函数f(X)在某个区间上可导，若f‘(x)>0,则f(x)为增函数；若f‘(x)0?圮x>l或xl时f7(x)>0,f(x)在［T,-■］上为增函数，在(-■,1)上为减函数，在［1,2］上为增函数，故f(x)的最大值为{f(-■),f(x)}max=f(2)=2+c。点评：最值(极值)问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，容易掌握。应用三：求三次函数中参数的值或范围例3：已知函数f(x)=x3-・x2+bx+c,(1)若f(x

4、)的图象有与轴平行的切线，求b得取值范围；(2)若f(x)在x=l取得极值，且xW［1-，2］时f(xT或c>2o应用四：求三次函数在某一点处的切线方程例4：已知函数f(x)=x3-2x2+1,求过P(2,1)与曲线f(x)相切的直线方程？解：f'(x)=3x2-4x,当P(2,1)为切点时，切线的斜率为k=4,所以方程为y-l=4(x-2),即4x-y-7=0当P(2,1)不为切线时，设切点为Q(x0,y0)(xOH2),则该点处的斜率为k=3x02-4x0,所以切线方程为：y-y0=3x02-4x0(x-xO),

5、又P(2,1)在曲线上，解得xO=O,切线方程为：y=l故过P(2,1)的切线方程为4x-y-7=0或y=l。点评：解决过曲线上的P的切线问题时要注意讨论P是否为切点。应用五：求三次方程的根的个数例5：已知：a为实数，求方程x3-x=a有相异实根的个数。分析：解决本题要注意运用数形结合思想，作出函数的大致图象来研究。解：令f(x)=x3-x,则fz(x)=3x2-1.解f‘(x)=0得x=±Ho现将在各个区间的变化情况列表如下：由上表知：当时x=-・，f(x)取得最大值■；当x=・时，f(x)取得最小值-・。在同一坐

6、标系中画出两个函数y=x3-x与y=a图象。如下：所以：当a二土■时，方程有两个相异实根；当a>■或a